Question

1. Дана функция y=3x²-6x-9. А) Найдите координаты вершины параболы Б) Найдите точки пересечения с осями координат. В) Найдите ось симметрии параболы. Г) Постройте график функции.​

Answer 1

Ответ:

А) Координаты вершины (1; -12)

Б) Точка пересечения с осью Оу имеет координаты (0; -9).

Точки пересечения с осью Ох имеют координаты (-1; 0) и (3; 0)

В) Уравнение оси симметрии х = 1

Объяснение:

Дана функция y=3x²-6x-9.

А) Найдите координаты вершины параболы

Б) Найдите точки пересечения с осями координат.

В) Найдите ось симметрии параболы.

Г) Постройте график функции.​

y = 3x² - 6x - 9

-квадратичная функция вида y = ax² + bx + c, график - парабола, а = 3 >0 ⇒ ветви вверх.

А) Найдем координаты вершины параболы.

$\displaystyle \bf x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\cdot 3} =1\\\\y_0=y(1)=3\cdot1-6\cdot1-9=-12$

Координаты вершины (1; -12)

Б) Найдем точки пересечения с осями.

1. С осью Оу   ⇒   х = 0

у(0) = -9

⇒ Точка пересечения с осью Оу имеет координаты (0; -9)

2. С осью Ох   ⇒   у = 0

$\displaystyle \bf 0=3x^2-6x-9\;\;\;\;\;|:3\\\\x^2-2x-3=0\\\\D=4+12=16\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\sqrt{D}=4\\ \\x_1=\frac{2+4}{2}=3;\;\;\;\;\;x_2=\frac{2-4}{2}=-1$

Точки пересечения с осью Ох имеют координаты (-1; 0) и (3; 0)

В) Ось симметрии.

х = m, где m = x₀, то есть абсцисса вершины параболы.

⇒ Уравнение оси симметрии х = 1

Г) Построим график.

Дополнительные точки:

$\displaystyle\arraycolsep=0.7em\begin{array}{ | c | c |c|c|c| }\cline{1-5}x& 0& 2 & -2& 4 \\\cline{1-5}y& -9 & -9 & 15& 15 \\\cline{1-5}\end{array}$

Строим график.

#SPJ1

Answer 2

Конечно, давайте решим по порядку:

1. Найдите координаты вершины параболы:

Функция имеет форму \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a = 3\), \(b = -6\), и \(c = -9\). Вершина параболы \(y = ax^2 + bx + c\) имеет координаты \((h, k)\), где: \[h = -\frac{b}{2a}\] \[k = c - \frac{b^2}{4a}\]

Таким образом, найдем вершину параболы: \[h = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = 1\] \[k = -9 - \frac{(-6)^2}{4 \cdot 3} = -9 - \frac{36}{12} = -9 - 3 = -12\]

Координаты вершины: \((1, -12)\)

2. Найдите точки пересечения с осями координат:

Точки пересечения с осью \(x\) (ось абсцисс) получаются при \(y = 0\), так как эти точки лежат на оси \(x\).

Уравнение для нахождения точек пересечения с осью \(x\): \[3x^2 - 6x - 9 = 0\]

Мы можем разложить это уравнение на множители или воспользоваться квадратным уравнением. Применим квадратное уравнение:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

\[x = \frac{6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-9)}}{2 \cdot 3}\] \[x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 108}}{6}\] \[x = \frac{6 \pm \sqrt{144}}{6}\] \[x = \frac{6 \pm 12}{6}\]

Итак, получаем две точки пересечения с осью \(x\): \[x_1 = \frac{6 + 12}{6} = \frac{18}{6} = 3\] \[x_2 = \frac{6 - 12}{6} = \frac{-6}{6} = -1\]

Точки пересечения с осью \(x\): \((3, 0)\) и \((-1, 0)\)

Точка пересечения с осью \(y\) (ось ординат) будет при \(x = 0\). Подставим \(x = 0\) в уравнение:

\[y = 3(0)^2 - 6(0) - 9 = -9\]

Точка пересечения с осью \(y\): \((0, -9)\)

3. Найдите ось симметрии параболы:

Ось симметрии параболы всегда проходит через вершину и параллельна оси \(y\) (ординат). В данном случае, ось симметрии проходит через \(x = 1\) (по координате \(h\) вершины).

4. Постройте график функции:

Для построения графика мы используем найденные выше данные:

- Вершина: \((1, -12)\) - Точки пересечения с осями координат: \((3, 0)\), \((-1, 0)\), \((0, -9)\) - Ось симметрии: \(x = 1\)

Построим график функции \(y = 3x^2 - 6x - 9\):


На графике выше показана парабола с вершиной в точке \((1, -12)\), пересечениями с осями координат в точках \((3, 0)\), \((-1, 0)\), и точкой пересечения с осью \(y\) в \((0, -9)\). Ось симметрии параболы проходит через \(x = 1\).