Question

Знайдіть екстремуму функції f(x) = 15+8x-x²

Answer 1

Ответ:

Щоб знайти екстремуми цієї функції, спочатку необхідно знайти її першу похідну:

f'(x) = 8 - 2x

Для знаходження екстремумів треба знайти точки, де перша похідна дорівнює нулю:

8 - 2x = 0

2x = 8

x = 4

Точка x = 4 є критичною точкою функції f(x). Щоб дослідити, чи є це мінімум або максимум, необхідно проаналізувати знаки другої похідної:

f''(x) = -2

Друга похідна є від'ємною для будь-якого x, тому функція має максимум в точці x = 4.

Отже, максимальне значення функції f(x) дорівнює:

f(4) = 15 + 8(4) - (4²) = 31.

Answer 2

Щоб знайти екстремуми функції \(f(x) = 15 + 8x - x^2\), треба взяти похідну від цієї функції та прирівняти її до нуля. Давайте це зробимо.

1. Знайдемо похідну \(f'(x)\):

\[f'(x) = \frac{d}{dx}(15 + 8x - x^2)\]

Диференціюємо кожен член окремо:

\[f'(x) = 8 - 2x\]

2. Тепер прирівняємо похідну до нуля і знайдемо значення \(x\), при якому це відбувається:

\[8 - 2x = 0\]

Розв'язавши це рівняння, отримаємо:

\[2x = 8 \implies x = 4\]

Отже, \(x = 4\) - це точка, де похідна \(f'(x)\) дорівнює нулю.

3. Тепер потрібно визначити, чи це точка мінімуму чи максимуму. Для цього можна використовувати другу похідну або тестування інтервалів. У нашому випадку можна використовувати тестування інтервалів.

Розглянемо три інтервали: - \(x < 4\), - \(x = 4\), - \(x > 4\).

Виберемо значення \(x\) з кожного інтервалу і підставимо їх в \(f'(x)\), щоб визначити знак \(f'(x)\) на цих інтервалах.

- Для \(x < 4\), виберемо \(x = 3\): \(f'(3) = 8 - 2 \cdot 3 = 2 > 0\). - Для \(x > 4\), виберемо \(x = 5\): \(f'(5) = 8 - 2 \cdot 5 = -2 < 0\).

Отже, ми бачимо, що перед точкою \(x = 4\) функція зростає, і після точки \(x = 4\) вона спадає. Таким чином, можемо зробити висновок:

- При \(x = 4\) функція \(f(x) = 15 + 8x - x^2\) має локальний максимум.

Якщо вас цікавить значення функції в цій точці, підставте \(x = 4\) у вихідну функцію:

\[f(4) = 15 + 8 \cdot 4 - 4^2\]

\[f(4) = 15 + 32 - 16 = 31\]

Отже, локальний максимум функції \(f(x)\) дорівнює 31, і він досягається при \(x = 4\).