Question

Перший член арифметичної прогресії дорівнює -4, а її різниця дорівнює 2. Скільки треба взяти перших членів прогресії, щоб їхня сума дорівнювала 84?

Answer 1

$\displaystyle\bf\\a_{1} =-4\\\\d=2\\\\S_{n} =84\\\\n=? \ , \ n > 0\\\\\\S_{n} =\frac{2a_{1} +d\cdot(n-1)}{2} \cdot n\\\\\\84=\frac{2\cdot(-4)+2\cdot(n-1)}{2} \cdot n\\\\\\84=\Big[-4+(n-1)\Big]\cdot n\\\\\\84=(-4+n-1)\cdot n\\\\\\84=(n-5)\cdot n\\\\\\n^{2} -5n-84=0\\\\D=(-5)^{2} -4\cdot (-84)=25+336=361=19^{2} \\\\\\n_{1} =\frac{5+19}{2} =12\\\\\\n_{2}=\frac{5-19}{2} =-7 < 0-neyd\\\\Otvet \ : \ 12$

Answer 2

Арифметична прогресія - це числова послідовність, у якої різниця між будь-якими двома сусідніми членами є постійною. Формула для n-го члена арифметичної прогресії має вигляд:

\[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d, \]

де: - \( a_n \) - n-й член прогресії, - \( a_1 \) - перший член прогресії, - \( n \) - номер члена прогресії, - \( d \) - різниця між двома сусідніми членами.

У вашому випадку перший член \( a_1 = -4 \) і різниця \( d = 2 \).

Сума перших \( n \) членів арифметичної прогресії обчислюється за формулою:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1) \cdot d). \]

Вам дано, що сума перших членів прогресії дорівнює 84, і ви хочете знайти, скільки членів потрібно взяти. Позначте це число як \( n \):

\[ S_n = 84 \] \[ \frac{n}{2} \cdot (2 \cdot (-4) + (n-1) \cdot 2) = 84 \]

Розв'яжемо це рівняння. Спростимо його:

\[ n \cdot (-8 + 2n - 2) = 168 \] \[ n \cdot (2n - 10) = 168 \] \[ 2n^2 - 10n - 168 = 0 \]

Тепер розв'яжемо квадратне рівняння. Можна поділити обидві сторони на 2:

\[ n^2 - 5n - 84 = 0 \]

Розкладемо на множники:

\[ (n - 12)(n + 7) = 0 \]

Отже, можливі два варіанти:

1. \( n - 12 = 0 \) \(\Rightarrow n = 12\) 2. \( n + 7 = 0 \) \(\Rightarrow n = -7\) (але в даному контексті від'ємна кількість членів не має сенсу)

Отже, потрібно взяти 12 перших членів арифметичної прогресії, щоб їхня сума дорівнювала 84.