Question

Ділянка прямокутної форми розміром 3м на 4М закладається плиткою (800 штук), що має форму прямокутного трикутника .яких розмірів повинна бути плитка ,якщо один з її катетів на 5 см більше іншого?

Answer 1

Відповідь:

Меньший з катетів прямокутного трикутника дорівнює 15 см, а більший з катетів прямокутного трикутника дорівнює 20 см.

Пояснення:

Позначимо як Х см. меньший з катетів прямокутного трикутника, у такому випадку більший з катетів прямокутного трикутника дорівнює ( Х + 5 ) см.

Оскільки плитка має форму прямокутного трикутника, а ділянка має прямокутну форму, то будемо закладати плитку по дві штуки ( у такому разі дві плитки утворять прямокутник зі сторонами, що дорівнюють катетам прямокутного трикутника ). Таким чином кількість прямокутників буде дорівнювати 800 / 2 = 400 шт.

Примемо кількість прямокутників вздовж сторони у 4 м = 400 см, як А шт, та кількість прямокутників вздовж сторони у 3 м = 300 см, як В шт. У такому випадку отримаємо перше рівняння:

А × В = 400 ( 1 )

Ми маємо два варіанти:

1 варіант) Меньший з катетів прямокутного трикутника розміщується вздовж сторони у 400 см, а більший з катетів - вздовж сторони у 300 см. Отримаємо ще два рівняння:

А × Х = 400 ( 2 )

В × ( Х + 5 ) = 300 ( 3 )

Маємо систему з трьох рівняннь:

А × В = 400 ( 1 )

А × Х = 400 ( 2 )

В × ( Х + 5 ) = 300 ( 3 )

Виразимо А через В з рівняння ( 1 ):

А = 400 / В

Підставимо отриманний вираз до рівняння ( 2 ):

Х × 400 / В = 400

В = Х

Підставимо отриманний вираз до рівняння ( 3 ):

Х × ( Х + 5 ) = 300

Розкриємо дужки, та отримаємо квадратне рівняння:

Х² + 5Х - 300 = 0

Знайдемо дискоімінант квадратного рівняння:

D = 5² - 4 × 1 × ( -300 ) = 25 + 1200 = 1225

√D = 35

Знайдемо корні квадратного рівняння:

Х1 = ( -5 + √1225 ) / 2 = ( -5 + 35 ) / 2 = 15 см.

Х2 = ( -5 - √1225 ) / 2 = ( -5 - 35 ) / 2 = -20 см.

Другий корінь ми відкидаємо, оскільки розмір катету прямокутного трикутника не може бути негативним.

Перевірка:

Меньший з катетів прямокутного трикутника дорівнює 15 см, а більший з катетів прямокутного трикутника дорівнює 15 + 5 = 20 см.

Меньший з катетів прямокутного трикутника ( 15 см ) розміщується вздовж сторони у 400 см, а більший з катетів ( 20 см ) - вздовж сторони у 300 см.

Таким чином кількість прямокутників з двох плиток вздовж сторони у 400 см дорівнює:

400 / 15 = 26,(6) шт.

А кількість прямокутників з двох плиток вздовж сторони у 300 см дорівнює:

300 / 20 = 15 шт.

Загальна кількість прямокутників з двох плиток дорівнює:

26,(6) × 15 = 400 шт.

А загальна кількість плиток дорівнює:

400 × 2 = 800 шт.

2 варіант) Меньший з катетів прямокутного трикутника розміщується вздовж сторони у 300 см, а більший з катетів - вздовж сторони у 400 см. Отримаємо ще два рівняння:

А × ( Х + 5 ) = 400 ( 2 )

В × Х = 300 ( 3 )

Маємо систему з трьох рівняннь:

А × В = 400 ( 1 )

А × ( Х + 5 ) = 400 ( 2 )

В × Х = 300 ( 3 )

Виразимо В через А з рівняння ( 1 ):

В = 400 / А

Підставимо отриманний вираз до рівняння ( 3 ):

Х × 400 / А = 300

А = Х × 4/3

Підставимо отриманний вираз до рівняння ( 2 ):

Х × 4/3 ×( Х + 5 ) = 400

Х × ( Х + 5 ) = 400 × 3/4 = 300

Розкриємо дужки, та отримаємо квадратне рівняння:

Х² + 5Х - 300 = 0

Це те саме квадратне рівняння, що ми вирішували у першому варіанті. Воно має рішення Х = 15 см.

Перевірка:

Меньший з катетів прямокутного трикутника дорівнює 15 см, а більший з катетів прямокутного трикутника дорівнює 15 + 5 = 20 см.

Меньший з катетів прямокутного трикутника ( 15 см ) розміщується вздовж сторони у 300 см, а більший з катетів ( 20 см ) - вздовж сторони у 400 см.

Таким чином кількість прямокутників з двох плиток вздовж сторони у 300 см дорівнює:

300 / 15 = 20 шт.

А кількість прямокутників з двох плиток вздовж сторони у 400 см дорівнює:

400 / 20 = 20 шт.

Загальна кількість прямокутників з двох плиток дорівнює:

20 × 20 = 400 шт.

А загальна кількість плиток дорівнює:

400 × 2 = 800 шт.

Другий варіант кращий, оскільки він не передбачає різання плитки. Плитка закладається цілою.

Answer 2

Ділянка прямокутної форми розміром 3 м на 4 м закладається плиткою, яка має форму прямокутного трикутника. Зауважте, що плитка має форму прямокутного трикутника, а не прямокутника. Щоб знайти розміри плитки, необхідно врахувати, що один з її катетів на 5 см більше іншого.

Для вирішення цього завдання, спочатку визначимо розміри прямокутного трикутника, який утворюється з плиток. За теоремою Піфагора, сума квадратів катетів прямокутного трикутника дорівнює квадрату гіпотенузи. У нашому випадку, гіпотенуза прямокутного трикутника буде дорівнювати довжині одного з катетів плюс 5 см.

Таким чином, ми можемо записати наступну рівність:

гіпотенуза^2 = катет^2 + (катет + 5)^2

Замінюємо відомі значення:

гіпотенуза^2 = 3^2 + (4 + 5)^2

Обчислюємо:

гіпотенуза^2 = 9 + 81

гіпотенуза^2 = 90

Тепер знаходимо квадратний корінь з обох боків:

гіпотенуза = √90

гіпотенуза ≈ 9.49

Таким чином, гіпотенуза прямокутного трикутника, який утворюється з плиток, дорівнює приблизно 9.49 см.

Тепер, щоб знайти розміри плитки, ми можемо використати відомі розміри ділянки та гіпотенузу прямокутного трикутника. Оскільки плитка має форму прямокутного трикутника, один з її катетів буде дорівнювати 3 м, а інший катет буде дорівнювати 4 м. Гіпотенуза ж прямокутного трикутника буде дорівнювати 9.49 см.

Таким чином, розміри плитки будуть 3 м, 4 м та 9.49 см.