Question

Знайти похідну функції f(x) = 2x^2*cos^2*x/2​

Answer 1

Ответ:

f(x) = 2x^2*cos^2(x/2)

f'(x) = (2x^2)'cos^2(x/2) + 2x^2(cos^2(x/2))'

f'(x) = 4xcos^2(x/2) - 2x^2sin(x/2)*cos(x/2)

4xcos^2(x/2) - 2x^2sin(x/2)*cos(x/2)

Объяснение:

:)

Answer 2

Звичайно, з радістю поясню! Щоб знайти похідну функції \( f(x) = 2x^2 \cdot \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) \), скористаємось правилом диференціювання добутку і правилом ланцюжка для функції \( \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) \).

Спочатку визначимо похідну \( f(x) \):

\[ f(x) = 2x^2 \cdot \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) \]

Для знаходження похідної добутку застосуємо правило: \( (uv)' = u'v + uv' \), де \( u = 2x^2 \) та \( v = \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) \):

\[ f'(x) = (2x^2)' \cdot \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) + 2x^2 \cdot (\cos^2\left(\frac{x}{2}\right))' \]

Розрахуємо похідні окремих складових:

1. \( (2x^2)' \) Використовуючи правило диференціювання \( (ax^n)' = anx^{n-1} \), де \( a \) - константа, \( n \) - показник степеня: \[ (2x^2)' = 2 \cdot 2x^{2-1} = 4x \]

2. \( (\cos^2\left(\frac{x}{2}\right))' \) Застосуємо ланцюжкове правило для похідної функції \( \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) \), де \( u = \cos(u) \): \[ (\cos^2\left(\frac{x}{2}\right))' = 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \left(-\sin\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \] \[ = -\sin\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{x}{2}\right) \]

Теперішні результати вставимо назад у формулу для \( f'(x) \):

\[ f'(x) = 4x \cdot \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - 2x^2 \cdot \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{x}{2}\right) \]

Отже, похідна функції \( f(x) \) дорівнює:

\[ f'(x) = 4x \cdot \cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - 2x^2 \cdot \sin\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{x}{2}\right) \]