Question

1. Постройте график функции у =-x² - 4х + 5 и найти координаты вершины параболы

Answer 1

Для построения графика функции у = -x² - 4x + 5 можно использовать метод вершинной формы. Сначала найдем координаты вершины параболы:

Координаты вершины параболы имеют вид (-b/2a, c - b²/4a), где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения. В данном случае a = -1, b = -4 и c = 5, поэтому:

x₀ = -b/2a = -(-4) / (2 * (-1)) = 2

y₀ = -x₀² - 4x₀ + 5 = -2² - 4 * 2 + 5 = -3

Таким образом, координаты вершины параболы равны (2, -3).

Для построения графика можно также найти несколько точек на кривой, подставив различные значения для x:

x = -3: y = -(-3)² - 4(-3) + 5 = 8

x = -2: y = -(-2)² - 4(-2) + 5 = 7

x = -1: y = -(-1)² - 4(-1) + 5 = 4

x = 0: y = -(0)² - 4(0) + 5 = 5

x = 1: y = -(1)² - 4(1) + 5 = 0

x = 2: y = -(2)² - 4(2) + 5 = -3

x = 3: y = -(3)² - 4(3) + 5 = -7

Теперь мы можем построить график, используя эти точки и координаты вершины:
       |

   -7    |                   .

         |             .

   -6    |         .

         |

   -5    |     .

         |

   -4    |  .

         |

   -3 ---|------------------*

         |  .

   -2    |     .

         |

   -1    |         .

         |             .

    0    |                   .

         |

         |_________________________

               -3  -2  -1   0   1   2   3

График параболы направлен вниз, так как коэффициент при x² отрицательный. Вершина находится в точке (2, -3) и является точкой минимума функции.

Answer 2

Конечно, давайте разберемся. Уравнение \(y = -x^2 - 4x + 5\) представляет собой квадратичную функцию вида \(ax^2 + bx + c\), где \(a = -1\), \(b = -4\) и \(c = 5\).

Формула для координат вершины параболы в канонической форме \(y = a(x-h)^2 + k\) такова: вершина находится в точке \((h, k)\). Где \(h\) - это абсцисса вершины, а \(k\) - ордината вершины.

Формула для нахождения координат вершины параболы:

\[h = \frac{-b}{2a}\]

\[k = f(h)\]

где \(f(x) = ax^2 + bx + c\).

Для нашего уравнения:

\[h = \frac{-(-4)}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{-2} = -2\]

Теперь подставим \(h = -2\) в уравнение и найдем \(k\):

\[k = -(-2)^2 - 4(-2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9\]

Таким образом, координаты вершины параболы \(y = -x^2 - 4x + 5\) равны \((-2, 9)\).

Теперь построим график этой функции:


На графике вы увидите, что вершина параболы действительно находится в точке \((-2, 9)\).