Question

Обчисліть площу фігури обмеженої лініями у = х3, у = 0, х = 2.​

Answer 1

Ответ:

Задані лінії у = х³, у = 0 та х = 2 утворюють прямокутник з вершинами (0,0), (0,8), (2,8) та (2,0), в якому фігура з обмеженнями у = х³, у = 0 та х = 2 є правісною частиною.

Тому площа цієї фігури може бути обчислена як інтеграл від x = 0 до x = 2 функції y = x³:

S = ∫₀² x³ dx

Застосовуючи формулу для інтегрування степеневих функцій, отримуємо:

S = [x⁴/4]₀² = (2⁴/4) - (0⁴/4) = 8

Отже, площа фігури обмеженої лініями у = х³, у = 0 та х = 2 дорівнює 8 квадратним одиницям.

Answer 2

Звучить, ніби ти просиш обчислити площу фігури, обмеженої графіками функцій \(y = x^3\), \(y = 0\) та \(x = 2\). Щоб знайти площу цієї обмеженої фігури, потрібно знайти площу між цими графіками на відрізку від \(x = 0\) до \(x = 2\).

Функція \(y = x^3\) - це кубічна функція, яка виглядає як парабола, яка може бути у вигляді "вгору" або "вниз". Так як ми шукаємо площу між \(y = x^3\) та \(y = 0\) на відрізку від \(x = 0\) до \(x = 2\), ми шукаємо інтеграл від \(x = 0\) до \(x = 2\) функції \(y = x^3\).

Інтеграл площі функції \(y = x^3\) від \(x = 0\) до \(x = 2\) може бути знайдений наступним чином:

\[ \text{Площа} = \int_{0}^{2} x^3 \,dx \]

Проведемо обчислення:

\[ \text{Площа} = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} \]

Підставимо верхню та нижню межі інтегрування:

\[ \text{Площа} = \left( \frac{2^4}{4} \right) - \left( \frac{0^4}{4} \right) \]

\[ \text{Площа} = \left( \frac{16}{4} \right) - \left( \frac{0}{4} \right) \]

\[ \text{Площа} = 4 - 0 \]

Отже, площа фігури, обмеженої графіками \(y = x^3\), \(y = 0\) та \(x = 2\), дорівнює \(4\) квадратними одиницями.