Question

Bычислите: sin 30° cos 15° + cos 30° sin 15° =​

Answer 1

Для решения данной задачи можно воспользоваться формулами для вычисления синусов и косинусов суммы и разности углов.

sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

В данном случае имеем:

sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, sin 15° = 1/4 * √6, cos 15° = √3/4.

Тогда:

sin 30° cos 15° + cos 30° sin 15° = (1/2) * (√3/4) + (√3/2) * (1/4 * √6)

= (1/2) * (√3/4) + (√2/4) * (√3/2)

= (1/2) * (√3/4 + √6/4)

= (√3 + √6) / 8.

Таким образом, sin 30° cos 15° + cos 30° sin 15° = (√3 + √6) / 8.

Answer 2

Конечно, давайте решим данное выражение.

Используем тригонометрические тождества для произведения синусов и косинусов углов суммы:

\[\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B.\]

В данном случае, у нас есть следующие значения:

\[A = 30^\circ,\] \[B = 15^\circ.\]

Тогда:

\[\sin(30^\circ + 15^\circ) = \sin 30^\circ \cos 15^\circ + \cos 30^\circ \sin 15^\circ.\]

Теперь мы можем использовать значения синуса и косинуса для 30° и 15°, которые можно найти в таблицах или с использованием калькулятора:

\[\sin 30^\circ = \frac{1}{2},\] \[\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2},\] \[\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4},\] \[\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}.\]

Подставим эти значения в наше выражение:

\[\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.\]

Умножаем числители и знаменатели и складываем:

\[\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{18} - \sqrt{6}}{8}.\]

Теперь объединим дроби:

\[\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{18} - \sqrt{6}}{8}.\]

Упростим числитель:

\[\frac{\sqrt{2} + \sqrt{18}}{8}.\]

Теперь упростим корень из 18:

\[\frac{\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{8}.\]

Сложим числители:

\[\frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

Итак, \(\sin 30^\circ \cos 15^\circ + \cos 30^\circ \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}.\)