Question

100 Балов! 1. Останній член арифметичної прогресії, яка містить 7 членів, дорівнює 3 1/6. Знайдіть перший член цієї прогресії, якщо її різниця дорівнює 3/8. 2.Сума трьох перших членів геометричної прогресії, яка міс- тить 6 членів, у 8 разів менша від суми трьох останніх. Чому дорівнює знаменник прогресії?

Answer 1

Ответ:

1)Нехай перший член арифметичної прогресії дорівнює а, а різниця дорівнює d. Тоді останній член дорівнює а + 6d, оскільки ми знаємо, що прогресія містить 7 членів. З іншого боку, нам дано, що останній член дорівнює 3 1/6, тобто 19/6. Таким чином, ми маємо рівняння:

а + 6d = 19/6

З іншого боку, ми знаємо, що різниця дорівнює 3/8. Тобто d = 3/8. Підставляючи це значення в рівняння вище, ми отримуємо:

а + 6(3/8) = 19/6

розв'язуючи для а, ми отримуємо:

а = 5/8

Отже, перший член арифметичної прогресії дорівнює 5/8.

2)Нехай перший член геометричної прогресії дорівнює а, а знаменник дорівнює q. Тоді третій і шостий члени дорівнюють відповідно аq^2 та аq^5, оскільки ми знаємо, що прогресія містить 6 членів. З іншого боку, нам дано, що сума трьох перших членів у 8 разів менша від суми трьох останніх. Тобто ми можемо записати:

а + аq + аq^2 = 8(аq^4 + аq^5 + аq^6)

розв'язуючи це рівняння для а, ми отримуємо:

а = (8q^3 - 1)/(q^3 + q^2 + q)

Отже, знаменник геометричної прогресії дорівнює q^3 + q^2 + q.

Answer 2

Arithmetic Progression

To find the first term of an arithmetic progression, we need to know the last term, the number of terms, and the common difference.

Given that the last term of the arithmetic progression is 3 1/6 and there are 7 terms, and the common difference is 3/8, we can find the first term.

Let's denote the first term as 'a', the last term as 'l', the number of terms as 'n', and the common difference as 'd'.

From the given information, we have: - l = 3 1/6 - n = 7 - d = 3/8

To find the first term 'a', we can use the formula:

a = l - (n - 1) * d

Substituting the given values, we get:

a = 3 1/6 - (7 - 1) * 3/8

To simplify the calculation, let's convert the mixed number 3 1/6 to an improper fraction:

a = 19/6 - (7 - 1) * 3/8

Now, let's calculate the first term:

a = 19/6 - 6 * 3/8

a = 19/6 - 18/8

To subtract fractions, we need a common denominator. The least common multiple of 6 and 8 is 24. Let's convert the fractions to have a common denominator of 24:

a = (19/6) * (4/4) - (18/8) * (3/3)

a = 76/24 - 54/24

a = (76 - 54)/24

a = 22/24

Simplifying the fraction, we get:

a = 11/12

Therefore, the first term of the arithmetic progression is 11/12.

Geometric Progression

To find the common ratio of a geometric progression, we need to know the sum of the first three terms and the sum of the last three terms.

Given that the sum of the first three terms is 8 times smaller than the sum of the last three terms, we can find the common ratio.

Let's denote the common ratio as 'r' and the first term as 'a'.

From the given information, we have:

Sum of the first three terms = 8 * Sum of the last three terms

Using the formula for the sum of a geometric progression, we can express the sums in terms of the first term and the common ratio:

a + ar + ar^2 = 8(ar^3 + ar^2 + ar)

Simplifying the equation, we get:

a + ar + ar^2 = 8ar^3 + 8ar^2 + 8ar

Rearranging the terms, we have:

a + ar + ar^2 - 8ar^3 - 8ar^2 - 8ar = 0

Factoring out 'a' and 'r', we get:

a(1 + r + r^2 - 8r^3 - 8r^2 - 8r) = 0

Since the product is zero, either 'a' or the expression in parentheses must be zero.

If 'a' is zero, the common ratio 'r' would be undefined.

Therefore, the expression in parentheses must be zero:

1 + r + r^2 - 8r^3 - 8r^2 - 8r = 0

Simplifying the equation, we have:

-8r^3 - 7r^2 - 7r + 1 = 0

To find the common ratio 'r', we can solve this cubic equation. However, finding an exact solution for a general cubic equation can be complex.

Without further information or constraints, it is not possible to determine the exact value of the common ratio 'r' or the denominator of the geometric progression.

Please provide additional information or constraints to solve for the common ratio or the denominator of the geometric progression.