Question

1. Розв'яжіть графічно систему рівнянь: y = x^2 - 2 у - 1 = 2x​

Answer 1

Для розв'язання системи рівнянь графічно, ми можемо нарисувати графіки кожного рівняння і знайти їх точку перетину.

Рівняння y = x^2 - 2 представляє параболу, відкриту вгору, з вершиною в точці (0, -2).

Рівняння у - 1 = 2x можна переписати у вигляді y = 2x + 1, яке представляє пряму з нахилом 2 і перетином з осі ординат в точці (0, 1).

Намалюємо графіки обох рівнянь на одному графіку:

     |

 5   |       .

     |       :

 4   |        .

     |          :

 3   |           .

     |             :

 2   |               .

     |                 :

 1   |                   .

     |                     :

 0   |_________________________

    -3     -2     -1     0     1

вибач що криво :(

На графіку ми бачимо, що парабола та пряма перетинаються в двох точках, одна з яких знаходиться близько до (-1.4, -1.8), а інша близько до (0.6, 1.2).

Таким чином, розв'язки системи рівнянь {y = x^2 - 2, y - 1 = 2x} є дві точки: (-1.4, -1.8) та (0.6, 1.2).

Answer 2

Щоб розв'язати систему рівнянь графічно, давайте подивимося на кожне рівняння окремо та визначимо точку їх перетину.

1. Рівняння \(y = x^2 - 2\): Це квадратичне рівняння, що визначає параболу. Давайте побудуємо графік цієї функції.

2. Рівняння \(y = 2x\): Це лінійне рівняння, що визначає пряму. Побудуємо також графік цієї функції.

Точки перетину цих графіків будуть розв'язками системи.

Для того, щоб показати вам графіки, використаємо інтерактивний код на мові програмування Python з бібліотекою Matplotlib. Прошу вас виконати цей код у середовищі Python:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Функції для графіків
def f1(x):
    return x**2 - 2

def f2(x):
    return 2*x

# Генерація значень x від -3 до 3
x = np.linspace(-3, 3, 400)

# Значення y для обох функцій
y1 = f1(x)
y2 = f2(x)

# Побудова графіків
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y1, label=r'$y = x^2 - 2$')
plt.plot(x, y2, label=r'$y = 2x$')

# Додавання точки перетину
intersection_x = 2
intersection_y = f1(intersection_x)
plt.scatter(intersection_x, intersection_y, color='red', marker='o', label='Точка перетину')

# Налаштування графіків
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)
plt.legend()
plt.title('Графіки рівнянь')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')

# Виведення графіків
plt.show()

Цей код генерує графіки обох функцій та позначає червоним кружечком точку їх перетину. Точка перетину є розв'язком системи рівнянь.