Question

В партии из 26 деталей содержится 3 бракованные. Найди вероятность, что среди 12 выбранных наудачу деталей будет хотя бы одна бракованная. Ответ:​

Answer 1

Делаю короче так: найду вероятность того, что все 12 выбранных деталей будут исправными, а затем вычту ее из 1. Так как по другому хз как решить.

Вероятность выбрать все 12 исправных деталей будет равна произведению вероятностей каждого последующего выбора:

(23/26) * (22/25) * (21/24) * ... * (12/15)

Чтобы упростить можно заметить, что каждый следующий множитель представляет собой отношение двух чисел, у которых числитель на 1 меньше знаменателя. Это значит, что каждый следующий множитель можно записать в виде вот этого: (n - k)/(n - k + 1), где n = 26, k = 12. Тогда произведение вероятностей можно записать следующим образом:

(23/26) * (22/25) * (21/24) * ... * (15/16) * (14/15)

Сокращаю

(23/26) * (22/25) * (21/24) * ... * (1/4) * (1/3) * (1/2) * (13/14)

Ну и собственно как и говорил вычту это из 1

1 - (23/26) * (22/25) * (21/24) * ... * (1/4) * (1/3) * (1/2) * (13/14) ≈ 0.6

Ответ: 0,6 но если нужно совсем дотошно и точно то 0,657

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой вероятности события, дополнения и комбинаторикой.

Итак, у нас есть партия из 26 деталей, из которых 3 бракованные. Мы хотим найти вероятность того, что среди 12 наудачу выбранных деталей будет хотя бы одна бракованная.

1. Найдем вероятность того, что среди 12 деталей не будет ни одной бракованной. Это можно выразить следующим образом:

\(P(\text{нет брака}) = \frac{\text{Количество способов выбрать 12 нормальных из 23}}{\text{Количество способов выбрать 12 из 26}}\)

Это выражается как \(\frac{C_{23}^{12}}{C_{26}^{12}}\), где \(C_n^k\) - это количество способов выбрать k элементов из n.

2. Теперь мы можем использовать дополнение, чтобы найти вероятность того, что хотя бы одна деталь будет бракованной:

\(P(\text{хотя бы одна бракованная}) = 1 - P(\text{нет брака})\)

Таким образом,

\(P(\text{хотя бы одна бракованная}) = 1 - \frac{C_{23}^{12}}{C_{26}^{12}}\)

Теперь давайте вычислим это значение:

\[ P(\text{хотя бы одна бракованная}) = 1 - \frac{\binom{23}{12}}{\binom{26}{12}} \approx 1 - \frac{23,439,024}{70,368,744} \approx 0.665 \]

Итак, вероятность того, что среди 12 наудачу выбранных деталей будет хотя бы одна бракованная, составляет примерно 0.665 или 66.5%.