Question

Пожалуйста найдите точку максимума функции: y= (23+x)e^23-x

Answer 1

Объяснение:

Рассмотрим функцию y = (23 - x) * e23 – x. Отметим, что данная функция определена и дифференцируема для всех х ∈ (-∞; +∞). По требованию задания, найдём точки минимума данной функции, если таковые существуют. Воспользуемся приёмами дифференциального и интегрального исчисления. Как известно, необходимым условием экстремума функции одной переменной в точке x* является равенство нулю первой производной функции, то есть, в точке x* первая производная функции должна обращаться в нуль.

Найдём первую производную данной функции: f Ꞌ(x) = ((23 - x) * e23 – x)Ꞌ = (23 - x)Ꞌ * e23 – x + (23 - x) * (e23 – x)Ꞌ = -e23 – x - (23 - x) * e23 – x = (x – 24) * e23 – x. Приравнивая производную к нулю, получим уравнение (x – 24) * e23 – x = 0. Для того, чтобы произведение двух сомножителей равнялось нулю, необходимым и достаточным условием является равенство нулю хотя бы одного из сомножителей. Поскольку для любого х ∈ (-∞; +∞) справедливо e23 – x > 0, то получим х – 24 = 0, откуда х = 24.

Для выяснения поведения функции в найденной точке, рассмотрим поведение производной в следующих двух множествах: (-∞; 24) и (24; +∞). Очевидно, что, при х ∈ (-∞; 24), например, при х = 23, производная f Ꞌ(x) < 0; при х ∈(24; +∞), например, при х = 25, производная f Ꞌ(x) > 0.

Поскольку при переходе через точку х = 24 производная f Ꞌ(x) меняет свой знак с минуса на плюс, то точка x = 24 является точкой минимума функции. Вычислим значение данной функции при x = 24. Имеем: f(24) = (23 - 24) * e23 – 24 = -1 / е.

Значит, точкой минимума данной функции является х = 24.

Ответ: Точкой минимума данной функции является х = 24.

Answer 2

Для нахождения точки максимума функции \(y = (23 + x)e^{23-x}\) нужно найти её критические точки, а затем провести исследование на экстремум. Давайте последовательно выполним эти шаги.

1. Нахождение производных:

a. Найдем первую производную \(y'\):

\[y' = (23 + x)(-e^{23-x}) + e^{23-x}\]

b. Упростим выражение:

\[y' = -e^{23-x}(23 + x - 1)\]

c. Приравняем \(y'\) к нулю, чтобы найти критические точки:

\[0 = -e^{23-x}(23 + x - 1)\]

Это уравнение равносильно уравнению \(23 + x - 1 = 0\). Решим его:

\[x = -22\]

2. Исследование на экстремум:

a. Возьмем вторую производную \(y''\):

\[y'' = e^{23-x}(23 + x - 1) + e^{23-x}\]

b. Подставим \(x = -22\):

\[y''(-22) = e^{23-(-22)}(23 - 22 - 1) + e^{23-(-22)}\]

\[y''(-22) = e^{45} \cdot (-1) + e^{45}\]

\[y''(-22) = -e^{45} + e^{45}\]

\[y''(-22) = 0\]

Так как вторая производная равна нулю, тест на вторую производную не дает ясного ответа. Мы можем воспользоваться другим методом исследования, например, методом знаков.

3. Метод знаков:

a. Выберем точку в каждом из интервалов, образованных критической точкой \(x = -22\):

- Пусть \(x < -22\), например, \(x = -23\). - Пусть \(-22 < x < -21\), например, \(x = -21.5\). - Пусть \(x > -21\), например, \(x = -20\).

b. Подставим эти значения в \(y'\):

- При \(x = -23\), \(y'(-23) < 0\). - При \(x = -21.5\), \(y'(-21.5) > 0\). - При \(x = -20\), \(y'(-20) < 0\).

c. Сделаем выводы:

- В интервале \((-\infty, -22)\) функция убывает. - В интервале \((-22, -21)\) функция возрастает. - В интервале \((-21, +\infty)\) функция снова убывает.

Вывод:

Таким образом, у нас есть точка максимума при \(x = -22\). Ответ: точка максимума функции \(y = (23 + x)e^{23-x}\) находится в точке \((-22, (23-22)e^{23-(-22)})\).