Question

Найдите точки экстремума функции у=f(x) 1)f(x)=x^2-8x+15 2)f(x)=-x^2-3x+10

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

f'(x)=2x-8

f'(x)=0 => 2x-8=0 x=4

x<4  тогда  f'(x)<0  x>4  тогда  f'(x)>0

=> x=4  точка экстремума - точка минимума . Тогда f(4)=4²-8*4+15=-1

Экстремум функции f(4)=-1

2)  f'(x)=-2x-3

f'(x)=0 => -2x-3=0 x=-1.5

x<-1.5  тогда  f'(x)>0  x>-1.5  тогда  f'(x)<0

=> x=-1.5  точка экстремума - точка максимума функции . Тогда f(-1.5)=(-1.5)²-3*(-1.5)+10 =2.25+4.5+10=16.75

Экстремум функции f(-1.5)=16.75

Answer 2

Чтобы найти точки экстремума функции, нужно найти её производные и приравнять их к нулю. Точки, где производная равна нулю или не существует, могут быть точками минимума, максимума или седловыми точками.

1. Рассмотрим первую функцию: \( f(x) = x^2 - 8x + 15 \).

- Найдем производную: \( f'(x) = 2x - 8 \). - Приравняем её к нулю: \( 2x - 8 = 0 \). - Решим уравнение: \( 2x = 8 \), отсюда \( x = 4 \). - Подставим \( x = 4 \) во вторую производную, чтобы определить характер точки: \( f''(4) = 2 > 0 \), что означает, что у нас есть локальный минимум в точке \( x = 4 \).

Таким образом, точка экстремума первой функции - это минимум при \( x = 4 \).

2. Рассмотрим вторую функцию: \( f(x) = -x^2 - 3x + 10 \).

- Найдем производную: \( f'(x) = -2x - 3 \). - Приравняем её к нулю: \( -2x - 3 = 0 \). - Решим уравнение: \( -2x = 3 \), отсюда \( x = -\frac{3}{2} \). - Подставим \( x = -\frac{3}{2} \) во вторую производную: \( f''\left(-\frac{3}{2}\right) = -2 < 0 \), что означает, что у нас есть локальный максимум в точке \( x = -\frac{3}{2} \).

Таким образом, точка экстремума второй функции - это максимум при \( x = -\frac{3}{2} \).

Итак, первая функция имеет локальный минимум в точке \( x = 4 \), а вторая функция - локальный максимум в точке \( x = -\frac{3}{2} \).