Question

Розв'яжіть рівняння: 2sin^2 x = sin x​

Answer 1

Ответ:

Почнемо з перетворення рівняння, використовуючи тригонометричні тотожності:

2sin^2 x = sin x

2sin x * sin x = sin x

2sin x = 1

sin x = 1/2

Тепер знайдемо значення x, для якого sin x = 1/2. Це можна зробити за допомогою таблиці значень тригонометричних функцій або калькулятора. За таблицею, sin 30° = 1/2. Отже, можна записати:

x = 30° + k360° або x = π/6 + k2π, де k - ціле число.

Отже, рівняння має два розв'язки:

x = 30° + k360° або x = π/6 + k2π, де k - ціле число.

Ці розв'язки можна перевірити, підставивши їх у початкове рівняння.

Answer 2

Щоб розв'язати дане рівняння, спробуємо скористатися тригонометричними ідентичностями і приведемо його до більш простої форми.

Рівняння, яке ми маємо, виглядає наступним чином: 2sin^2(x) = sin(x).

Спершу, звернімо увагу на те, що sin^2(x) означає (sin(x))^2. Таким чином, ми можемо переписати рівняння як 2(sin(x))^2 = sin(x).

Далі, звернемо увагу на те, що у нас є квадрат sin(x) на лівій стороні рівняння. Ми можемо використовувати ідентичність sin^2(x) + cos^2(x) = 1, щоб замінити (sin(x))^2 на 1 - (cos(x))^2.

Таким чином, рівняння стає: 2(1 - (cos(x))^2) = sin(x).

Розкривши дужки, отримуємо: 2 - 2(cos(x))^2 = sin(x).

Тепер ми можемо привести рівняння до квадратного вигляду. Перепишемо його як: 2(cos(x))^2 + sin(x) - 2 = 0.

На цьому етапі ми можемо використати підстановку, де (cos(x)) = t. Тоді (sin(x)) = √(1 - t^2).

Рівняння стає: 2t^2 + √(1 - t^2) - 2 = 0.

Це квадратне рівняння з однією невідомою t. Його можна розв'язати шляхом підстановки або за допомогою чисельних методів.

Отримавши значення t, ми можемо обчислити значення (cos(x)) за допомогою зворотної підстановки. Потім, використовуючи (cos(x)), ми можемо знайти значення (sin(x)).

Нагадую, що цей метод може вимагати використання чисельних методів для отримання числових значень. Також, зауважте, що розв'язків може бути багато, оскільки рівняння є тригонометричним.