Question

(2+cos 3x) ×sin 2x>0​

Answer 1

2sin(2x)+cos(3x)sin(2x)

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы можем использовать следующие свойства тригонометрических функций:

1. cos(3x) представима в виде cos(2x + x), то есть cos(3x) = cos(2x)cos(x) - sin(2x)sin(x). 2. sin(2x) представима в виде 2sin(x)cos(x).

Используя эти свойства, мы можем переписать данное неравенство:

(2 + cos(3x))sin(2x) > 0 (2 + cos(2x)cos(x) - sin(2x)sin(x)) * 2sin(x)cos(x) > 0 2sin(x)cos(x) + 2cos(2x)sin^2(x) - 2sin(2x)sin(x)cos(x) > 0

Далее мы можем привести подобные слагаемые и сократить на 2:

sin(x)cos(x) + cos(2x)sin^2(x) - sin(2x)sin(x)cos(x) > 0

Теперь мы можем вынести sin(x)cos(x) как общий множитель:

sin(x)cos(x) * (1 + cos(2x)sin(x) - sin(2x)) > 0

Рассмотрим каждую скобку отдельно:

1) sin(x)cos(x) > 0: Здесь мы знаем, что sin(x) и cos(x) имеют одинаковый знак на интервалах (0, π/2) и (π, 3π/2): так как 1)cos(x)>0, имеем sin(x) > 0, это означает что этот интервал удовлетворяет неравенству. Итак, (0, π/2) и (π, 3π/2) являются решениями этой части неравенства.

2) 1 + cos(2x)sin(x) - sin(2x) > 0: Чтобы найти решения для этой части неравенства, мы можем использовать подстановку. Пусть t = sin(x). Тогда мы можем переписать неравенство в виде:

1 + cos(2x)t - 2sin(x)cos(x) > 0

Заметим, что 2sin(x)cos(x) = sin(2x) и cos(2x) = 1 - 2sin^2(x). Подставим это обратно в неравенство:

1 + (1 - 2sin^2(x))t - sin(2x) > 0 2 - 2sin^2(x) + t - sin(2x) > 0 2 - 2(1 - t^2) + t - sin(2x) > 0 2t^2 - t + sin(2x) - 1 < 0

Теперь мы можем найти корни данного квадратного уравнения для t, используя квадратное уравнение. Для этого мы можем найти дискриминант и найти значения t, при которых данное выражение положительно. После этого мы можем найти соответствующие значения x, подставив значения t = sin(x) обратно в исходное уравнение.

В итоге, решение данного неравенства будет состоять из объединения интервалов, где sin(x)cos(x) > 0 и интервалов, для которых 2t^2 - t + sin(2x) - 1 < 0.

Обратите внимание, что данное неравенство может иметь множество решений, и их конкретное количество зависит от значения параметра x. Для получения более точного ответа, необходимо рассмотреть процесс решения этого квадратного уравнения для t.