Question

Вокруг треугольника с углами 30 и 120 описана окружность радиуса 5 см. Найдите площадь треугольника, составленного из медиан данного треугольника. Объясните пожалуйста

Answer 1

Ответ:

$\frac{25\sqrt{3} }{16}$ ...............................................

Объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи давайте разберемся с основными понятиями и свойствами. Медианы треугольника - это отрезки, соединяющие вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Треугольник, составленный из медиан, называется медианным треугольником.

Дано, что вокруг треугольника с углами 30° и 120° описана окружность радиуса 5 см. Поскольку треугольник вписан в окружность, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, являются смежными и дополняют друг друга до 180°. Таким образом, третий угол треугольника равен 180° - 30° - 120° = 30°.

Теперь у нас есть треугольник со всеми углами по 30°. Поскольку каждая медиана разделяет треугольник на две равные части, у нас получаются три равных треугольника внутри исходного треугольника.

Медианы также пересекаются в одной точке, которая называется центром тяжести (барицентром) или точкой пересечения медиан. Этот центр тяжести делит каждую медиану в отношении 2:1, где более короткая часть соответствует расстоянию от вершины треугольника до центра тяжести, а более длинная часть - от центра тяжести до середины противолежащей стороны.

Таким образом, в медианном треугольнике каждая медиана делится на две части: одна равна \( \frac{1}{3} \) длины медианы и составляет расстояние от вершины до центра тяжести, а другая часть также равна \( \frac{2}{3} \) длины медианы и идет от центра тяжести до середины противолежащей стороны.

Так как у нас исходный треугольник со всеми сторонами по 30°, то все три медианы равны друг другу, и их длина равна \( \frac{2}{3} \) от длины стороны треугольника.

Поскольку радиус описанной окружности равен 5 см, длина стороны треугольника также равна 5 см. Следовательно, длина каждой медианы равна \( \frac{2}{3} \times 5 \) см = \( \frac{10}{3} \) см.

Теперь мы можем построить медианный треугольник, у которого каждая медиана равна \( \frac{10}{3} \) см. Площадь медианного треугольника можно вычислить, используя формулу Герона для треугольника с известными сторонами.

Полупериметр медианного треугольника \( s_m \): \[ s_m = \frac{1}{2} \left( \frac{10}{3} + \frac{10}{3} + \frac{10}{3} \right) \]

Вычисляем площадь медианного треугольника \( S_m \) с помощью формулы Герона: \[ S_m = \sqrt{s_m \cdot (s_m - \frac{10}{3}) \cdot (s_m - \frac{10}{3}) \cdot (s_m - \frac{10}{3})} \]

После вычислений получим площадь медианного треугольника.