Question

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=x^2+2x+2 , y=x+4​

Answer 1

Ответ:

S=4.5

Подробное решение на фото.

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и найти интеграл площади между ними.

Сначала найдем точки пересечения кривых y = x^2 + 2x + 2 и y = x + 4. Поставим их равными друг другу и решим уравнение:

x^2 + 2x + 2 = x + 4

Перенесем все члены в одну сторону:

x^2 + 2x - x + 2 - 4 = 0

x^2 + x - 2 = 0

Факторизуем квадратное уравнение:

(x - 1)(x + 2) = 0

Отсюда получаем два решения:

x1 = 1 и x2 = -2

Теперь найдем значения y в этих точках:

y1 = 1^2 + 2*1 + 2 = 1 + 2 + 2 = 5 y2 = -2 + 4 = 2

Получили точки пересечения кривых: (1, 5) и (-2, 2).

Теперь можно найти интеграл площади между этими точками:

S = ∫[x1, x2] (y2 - y1) dx

Используя уравнения кривых, можно записать:

S = ∫[-2, 1] (x + 4 - (x^2 + 2x + 2)) dx

S = ∫[-2, 1] (-x^2 - x + 2) dx

Раскрываем квадрат и производим интегрирование:

S = [-x^3 / 3 - x^2 / 2 + 2x] [-2, 1]

S = [-(1^3 / 3) - (1^2 / 2) + 2(1)] - [(-2^3 / 3) - (-2^2 / 2) + 2(-2)]

S = [(-1/3) - (1/2) + 2] - [(-8/3) - (4/2) - 4]

S = [-1/3 - 1/2 + 2] - [-8/3 - 2 - 4]

S = [-1/3 - 1/2 + 2] - [-8/3 - 2 - 12/3]

S = [-13/6 + 2] - [-26/3 - 6/3 - 12/3]

S = [-13/6 + 12/6] - [-44/3]

S = -1/6 - (-44/3)

S = -1/6 + 44/3

S = (44 - 1*6) / 6

S = 43/6

Получаем, что площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 + 2x + 2 и y = x + 4, равна 43/6.