Question

ДАЮ 100 БАЛІВ Про додатні числа х і у відомо, що (x²-4y²) / (xy) = -3. Знайдіть значення виразу (2x²+y²) / (3xy)

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle 1$

Объяснение:

$\displaystyle x > 0,\ y > 0\\\\\frac{x^2-4y^2}{xy}=-3\\\\x^2-4y^2=-3xy\\\\x^2-4y^2+3xy=0\\\\x^2-y^2-3y^2+3xy=0\\\\(x-y)(x+y)+3y(-y+x)=0\\\\(x-y)(x+y)+3y(x-y)=0\\\\(x-y)(x+y+3y)=0\\\\(x-y)(x+4y)=0\\\\x-y=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x+4y=0\\\\x=y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=-4y$

але x>o i y>0 ось чому

$\displaystyle x=y$

$\displaystyle \frac{2x^2+y^2}{3xy}=\frac{2y^2+y^2}{3y\cdot y}=\frac{3y^2}{3y^2}=1$

Answer 2

Задача полягає в тому, щоб знайти значення виразу \(\frac{{2x^2 + y^2}}{{3xy}}\), знаючи, що \(\frac{{x^2 - 4y^2}}{{xy}} = -3\).

Давайте почнемо з даного виразу та спростимо його. Маємо:

\[\frac{{x^2 - 4y^2}}{{xy}} = -3\]

Помножимо обидві сторони на \(xy\), щоб позбутися дробі в знаменнику:

\[x^2 - 4y^2 = -3xy\]

Тепер перепишемо це рівняння у стандартній квадратичній формі:

\[x^2 + 3xy - 4y^2 = 0\]

Це рівняння можна розкласти на дві дуже вигідні дужки:

\[(x - y)(x + 4y) = 0\]

Отже, маємо два можливих рішення для \(x\):

1. \(x - y = 0\), тобто \(x = y\) 2. \(x + 4y = 0\), тобто \(x = -4y\)

Тепер, враховуючи ці значення \(x\), підставимо їх у вираз \(\frac{{2x^2 + y^2}}{{3xy}}\) і обчислимо:

Для \(x = y\):

\[\frac{{2x^2 + x^2}}{{3xy}} = \frac{{3x^2}}{{3xy}} = \frac{x}{y}\]

Для \(x = -4y\):

\[\frac{{2(-4y)^2 + y^2}}{{3(-4y)y}} = \frac{{32y^2 + y^2}}{{-12y^2}} = \frac{{33y^2}}{{-12y^2}} = -\frac{{33}}{{12}}\]

Отже, маємо два можливих значення виразу \(\frac{{2x^2 + y^2}}{{3xy}}\): \(x = y\) або \(x = -4y\), що відповідають \(\frac{x}{y}\) та \(-\frac{{33}}{{12}}\), відповідно.