Question

Визначити найбільше значення функції у=х/(36+х^2 ) на проміжку [0; +∞). Вказати стаціонарні точки.

Answer 1

y=x/(36+x²)  

область визначення х²+36≠0 ⇒ х²≠-36⇒ нема розв'язкі⇒D(y)=(-∞;∞)

Обчіслюємо похідну функції

$y=(\frac{x}{x^2+36} )'=\frac{x'(x^2+36)+(x^2+36)'x}{(x^2+36)^2} =\frac{1*(x^2+36)+x(2x+0)}{(x^2+36)^2} =\frac{3x^2}{(x^2+36)^2}$

Трошкі теорії:

Критичні точці - точці, при якіх похідна функції дорівнює 0 або не існує.

Стаціонарні точці - критичні точці, при яках похідна функції дорівнює 0.

Тоді ми отримуємо:

1)3х²/(х²+36)²=0

3х²=0 ⇒ х=0  стаціонарна точка

2)(36+х²)²=0 ⇒ 36+х²=0 ⇒-36=х² ⇒ нема розв'язкі ⇒ нема таких критичних точок, при якіх похідна функції не існує

0 ∈ [0;∞)

Найбільше або найменше значення функції існує в критичних точек або в гранічних. Так як проміжек [0;∞) обмежен с одной сторонці, які має критичну точку,  то він дасть найбільше значення

f(0)=0/(36+0²)=0  найбільше значення

Answer 2

Щоб визначити найбільше значення функції \(y = \frac{x}{36 + x^2}\) на проміжку \([0, +\infty)\), треба розглянути її поведінку та стаціонарні точки.

1. Знаходження похідної: Розглянемо функцію \(y\) та знайдемо її похідну \(y'\).

\[y = \frac{x}{36 + x^2}\]

Використовуючи правило частинного диференціювання, отримаємо:

\[y' = \frac{(36 + x^2) - x \cdot 2x}{(36 + x^2)^2} = \frac{36 - x^2}{(36 + x^2)^2}\]

2. Знаходження стаціонарних точок: Стаціонарні точки відповідають тим значенням \(x\), для яких похідна \(y'\) дорівнює нулю:

\[0 = \frac{36 - x^2}{(36 + x^2)^2}\]

Це рівняння дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю:

\[36 - x^2 = 0\]

Звідси отримаємо дві стаціонарні точки: \(x = 6\) та \(x = -6\).

3. Аналіз знаків похідної: Визначимо, як змінюється знак похідної \(y'\) на різних інтервалах вісі \(x\).

- Для \(x < -6\), \(36 - x^2 > 0\) і, отже, \(y' > 0\). - Для \(-6 < x < 6\), \(36 - x^2 < 0\) і, отже, \(y' < 0\). - Для \(x > 6\), \(36 - x^2 > 0\) і, отже, \(y' > 0\).

4. Визначення меж функції: При \(x\) близько до \(-\infty\), \(y\) прямує до нуля. При \(x\) близько до \(+\infty\), також \(y\) прямує до нуля, оскільки ступені \(x\) в числяторі та знаменнику однакові.

5. Висновок: Функція \(y = \frac{x}{36 + x^2}\) має найбільше значення при \(x = 6\), і це значення можна знайти, підставивши \(x = 6\) в оригінальну функцію:

\[y_{\text{макс}} = \frac{6}{36 + 6^2} = \frac{6}{36 + 36} = \frac{6}{72} = \frac{1}{12}\]

Отже, найбільше значення функції на проміжку \([0, +\infty)\) дорівнює \(\frac{1}{12}\), і воно досягається при \(x = 6\).