Question

Площа паралелограма — 108см2, а його периметр — 46 см. Висота, проведена до однієї з його сторін, у 3 рази менше, ніж ця сторона. Обчисли: 1) цю висоту; 2) сторону, до якої вона проведена; 3) другу сторону паралелограма. Відповідь: 1) висота — см; 2) сторона, до якої проведена висота — см; 3) друга сторона — см.

Answer 1

Ответ:

1) 6 см

2) 18 см

3) 5 см

Подробный ответ на фото.

Answer 2

Нехай a і b - сторони паралелограма, а h - його висота, проведена до сторони b.

За умовою маємо:

1) Площа паралелограма: \(S = a \cdot h = 108 \, \text{см}^2\)

2) Периметр паралелограма: \(P = 2a + 2b = 46 \, \text{см}\)

3) Висота, проведена до однієї з його сторін, у 3 рази менше, ніж ця сторона: \(h = \frac{b}{3}\)

Тепер ми можемо вирішити цю систему рівнянь.

Крок 1: Визначимо сторону b.

Знаємо, що \(2a + 2b = 46\). Підставимо значення h:

\[2a + 2b = 46\]

\[2a + 2 \left( \frac{b}{3} \right) = 46\]

\[2a + \frac{2b}{3} = 46\]

\[6a + 2b = 138\]

\[3a + b = 69\]

Крок 2: Знаходимо значення сторін a.

Площа паралелограма \(S = a \cdot h = 108\). Підставимо значення \(h = \frac{b}{3}\):

\[a \cdot \frac{b}{3} = 108\]

\[a \cdot \frac{1}{3} \cdot (3a + b) = 108\]

\[a \cdot (3a + b) = 324\]

\[3a^2 + ab - 324 = 0\]

\[a^2 + \frac{b}{3}a - 108 = 0\]

\[3a^2 + b a - 324 = 0\]

Тепер ми можемо вирішити це квадратне рівняння відносно a. Можливі значення a:

\[a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

\[a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 4 \cdot 3 \cdot 108}}{2 \cdot 3}\]

\[a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 1296}}{6}\]

\[a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 1296}}{6}\]

\[a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 36^2}}{6}\]

\[a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 36^2}}{6}\]

\[a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 36^2}}{6}\]

Оскільки сторона a не може бути від'ємною, візьмемо тільки позитивний корінь:

\[a = \frac{-b + \sqrt{b^2 + 36^2}}{6}\]

Крок 3: Знаходимо значення b.

Підставимо значення a в рівняння \(3a + b = 69\):

\[3 \left( \frac{-b + \sqrt{b^2 + 36^2}}{6} \right) + b = 69\]

\[\frac{-b + \sqrt{b^2 + 36^2}}{2} + b = 69\]

\[\frac{-b + \sqrt{b^2 + 36^2} + 2b}{2} = 69\]

\[-b + \sqrt{b^2 + 36^2} + 2b = 138\]

\[ \sqrt{b^2 + 36^2} = 3b - 138\]

\[b^2 + 36^2 = (3b - 138)^2\]

\[b^2 + 1296 = 9b^2 - 828b + 138^2\]

\[8b^2 - 828b + 138^2 - 1296 = 0\]

\[8b^2 - 828b + 12276 = 0\]

\[b^2 - 103b + 1534.5 = 0\]

Розв'язати квадратне рівняння для b:

\[b = \frac{103 \pm \sqrt{103^2 - 4 \cdot 1534.5}}{2}\]

\[b = \frac{103 \pm \sqrt{10609 - 6138}}{2}\]

\[b = \frac{103 \pm \sqrt{4463}}{2}\]

\[b = \frac{103 \pm 66.85}{2}\]

\[b_1 \approx 34.92, \quad b_2 \approx 134.08\]

Так як b не може бути більше половини периметру (46/2 = 23), ми обираємо \(b \approx 34.92\).

Крок 4: Знаходимо h, другу сторону та сторону, до якої проведена висота.

\[h = \frac{b}{3} \approx \frac{34.92}{3} \approx 11.64 \, \text{см}\]

Друга сторона паралелограма:

\[a = \frac{-b + \sqrt{b^2 + 36^2}}{6} \approx \frac{-34.92 + \sqrt{34.92^2 + 36^2}}{6} \approx \frac{34.92 + 36}{6} \approx 11.82 \, \text{см}\]

Сторона, до якої проведена висота:

\[b \approx 34.92 \, \text{см}\]

Отже, відповіді:

1) Висота: \(h \approx 11.64 \, \text{см}\)

2) Сторона, до якої проведена висота: \(b \approx 34.92 \, \text{см}\)