Question

Вычислите cos4α , если sina=1/3​

Answer 1

Ответ:

17/81

Объяснение:

cos4∝=cos²2∝-sin²2∝

cos2∝=cos²∝-sin²∝

sin2∝=2cos∝*sin∝

cos4∝=cos²2∝-sin²2∝=(cos²∝-sin²∝)²-4cos²∝*sin²∝

sin²∝=(1/3​)²=1/9; cos²∝=1-1/9=8/9;

cos4∝=(cos²∝-sin²∝)²-4cos²∝*sin²∝=(8/9-1/9)²-4*(8/9)*(1/9)=49/81-32/81=17/81

Answer 2

Для решения данной задачи мы будем использовать тригонометрическую формулу двойного угла для косинуса:

cos(2θ) = 1 - 2sin²θ.

Также, мы знаем, что sin α = 1/3.

Используя тригонометрическую формулу для косинуса двойного угла, мы можем выразить cos(4α) через sin α:

cos(4α) = 1 - 2sin²(2α).

Теперь нам нужно выразить sin(2α) через sin α. Для этого мы можем использовать формулу половинного угла для синуса:

sin(2θ) = 2sinθcosθ.

Применим эту формулу, чтобы выразить sin(2α):

sin(2α) = 2sinαcosα.

Так как у нас известно, что sin α = 1/3, мы можем заменить sinα в нашем уравнении:

sin(2α) = 2 * (1/3) * cosα = 2/3 * cosα.

Теперь мы можем вернуться к нашему уравнению для cos(4α):

cos(4α) = 1 - 2sin²(2α) = 1 - 2 * (2/3 * cosα)².

Теперь нам осталось выразить cosα через sin α. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора:

cos²α + sin²α = 1.

Мы знаем, что sin α = 1/3, поэтому можно выразить cosα, как:

cosα = √(1 - sin²α) = √(1 - (1/3)²) = √(1 - 1/9) = √(8/9) = √8/3.

Теперь мы можем заменить cosα в нашем уравнении:

cos(4α) = 1 - 2 * (2/3 * (√8/3))².

Упростим эту формулу:

cos(4α) = 1 - 2 * (4/9) * (8/9) = 1 - (64/81) = (81 - 64)/81 = 17/81.

Итак, cos(4α) = 17/81.