Question

Найдите промежутки возрастания и убывания функции y=x⁴ -2x²​

Answer 1

y(x) = x⁴ -2x³

y `(x) = (x⁴ -2x³)` = 4x³-6x² = 4x²(x- 1,5)

y `(x) = 0 если x²(x- 1,5) = 0

             -                      -                           +

  ___________0__________1,5__________

              ↓                    ↓                         ↑

y(x) - убывает при х∈(-∞;0)∪(0;1,5)

y(x) - возрастает при x∈(1,5;+∞)  

Объяснение:

Если f `(x) >0 на промежутке, то f(x) - возрастает на этом промежутке.

Если f `(x) <0 на промежутке, то f(x) - убывает на этом промежутке.

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции y = x⁴ - 2x², нам понадобится взять производную этой функции и найти ее корни.

Нахождение производной:

Для функции y = x⁴ - 2x², возьмем производную по переменной x, используя правила дифференцирования:

y' = 4x³ - 4x

Нахождение корней производной:

Теперь найдем корни уравнения y' = 0, чтобы определить точки, в которых функция меняет свой характер (от возрастания к убыванию или наоборот).

4x³ - 4x = 0

Вынесем общий множитель:

4x(x² - 1) = 0

Таким образом, у нас есть три возможных значения x, которые могут быть корнями производной:

- x₁ = 0 - x₂ = 1 - x₃ = -1

Анализ промежутков возрастания и убывания:

Теперь, используя найденные значения x, мы можем проанализировать промежутки возрастания и убывания функции.

1. Первый промежуток (от минус бесконечности до x₃ = -1): - Подставим x = -2 в исходную функцию: y = (-1)⁴ - 2(-1)² = 1 - 2 = -1. - Значение функции отрицательное, следовательно, на данном промежутке функция убывает.

2. Второй промежуток (от x₃ = -1 до x₁ = 0): - Подставим x = -0.5 в исходную функцию: y = (-0.5)⁴ - 2(-0.5)² = 0.0625 - 0.5 = -0.4375. - Значение функции отрицательное, следовательно, на данном промежутке функция убывает.

3. Третий промежуток (от x₁ = 0 до x₂ = 1): - Подставим x = 0.5 в исходную функцию: y = (0.5)⁴ - 2(0.5)² = 0.0625 - 0.5 = -0.4375. - Значение функции отрицательное, следовательно, на данном промежутке функция убывает.

4. Четвертый промежуток (от x₂ = 1 до плюс бесконечности): - Подставим x = 2 в исходную функцию: y = 2⁴ - 2(2)² = 16 - 8 = 8. - Значение функции положительное, следовательно, на данном промежутке функция возрастает.

Вывод:

Итак, мы получили следующие промежутки возрастания и убывания функции y = x⁴ - 2x²:

- Функция убывает на промежутках (-∞, -1), (-1, 0), (0, 1). - Функция возрастает на промежутке (1, ∞).

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте знать.