Question

Доведіть що при всіх дійсних значеннях змінних є правильною нерівність 17y² - 40xy + 25x² - 4y + 4 ≥ 0 будь ласка з поясненням

Answer 1

16y²-2*4y*5x+25x²+y²-2*2y+2²=(4y-5x)²+(y-2)²>=0

квадрат неотрицателен сумма квадратов неотрицительна

Answer 2

Щоб довести, що нерівність 17y² - 40xy + 25x² - 4y + 4 ≥ 0 правильна для всіх дійсних значень змінних, ми можемо скористатися методом аналізу квадратичних форм.

Аналіз квадратичної форми

Спочатку розглянемо коефіцієнти квадратичної форми. У нашому випадку, ми маємо:

a = 17 b = -40 c = 25

Визначення дискримінанту

Дискримінант квадратичної форми обчислюється за формулою D = b² - 4ac. Підставимо значення коефіцієнтів в цю формулу:

D = (-40)² - 4 * 17 * 25 D = 1600 - 1700 D = -100

Отримали від'ємне значення дискримінанту. Це означає, що квадратична форма не має розв'язків на дійсних числах.

Визначення характеру квадратичної форми

Щоб визначити характер квадратичної форми, розглянемо знак коефіцієнта a (який у нашому випадку дорівнює 17). Якщо a > 0, то квадратична форма відкрита вгору, а якщо a < 0, то вона відкрита вниз.

У нашому випадку a = 17, що більше нуля. Тому квадратична форма відкрита вгору.

Визначення відношення між дискримінантом і характером квадратичної форми

Якщо дискримінант D < 0 і квадратична форма відкрита вгору (тобто a > 0), то квадратична форма завжди буде більше або рівно нулю для всіх дійсних значень змінних.

У нашому випадку D = -100 (менше нуля) і квадратична форма відкрита вгору (тому a > 0). Отже, нерівність 17y² - 40xy + 25x² - 4y + 4 ≥ 0 є правильною для всіх дійсних значень змінних.

Висновок

Таким чином, нерівність 17y² - 40xy + 25x² - 4y + 4 ≥ 0 є правильною для будь-яких дійсних значень змінних y та x.