Question

Функцію задано формулою f(x) = x 4 - 4x 3 -8 x 2 + 1. Знайдіть: 1) екстремуми функції; 2) найбільше та найменше значення функції f(x) на проміжку [-1 ; 2]. Накреслити стрілку ​

Answer 1

f(x) = x4 - 4x3 -8x2 + 1

f'(x) = 4x3 - 12x2 - 16x

4x3 - 12x2 - 16x = 0

4x(x2-3x-4)

1)4x = 0

x = 0

2) x2 -3x -4 = 0

D = 9 - 4 • 1 • (-4) = 25

x = (3+5)/2 = 4

x = (3 -5)/2 = -1

- -1 + 0 - 4 +

xmin = -1; xmin = 4

xmax = 0

2.

найменше - -1

найбільше - 2

Answer 2

Щоб знайти екстремуми функції та найбільше та найменше значення на заданому проміжку, треба взяти похідні та розв'язати рівняння. Давайте розглянемо задану функцію:

\[ f(x) = x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 1 \]

1. Знайдемо похідну першого порядку та прирівняємо до нуля, щоб знайти критичні точки:

\[ f'(x) = 4x^3 - 12x^2 - 16x \]

Прирівнюючи до нуля:

\[ 4x^3 - 12x^2 - 16x = 0 \]

Далі факторизуємо:

\[ 4x(x^2 - 3x - 4) = 0 \]

Отримали два корені: \( x = 0 \) та \( x = 4 \).

2. Тепер треба визначити, які з цих точок є локальними максимумами, а які - мінімумами. Для цього можна використовувати другу похідну:

\[ f''(x) = 12x^2 - 24x - 16 \]

Підставимо значення \( x \) з критичних точок (\( x = 0 \) та \( x = 4 \)):

- Для \( x = 0 \): \( f''(0) = -16 \) (мінімум) - Для \( x = 4 \): \( f''(4) = 80 \) (максимум)

Таким чином, \( x = 0 \) - мінімум, а \( x = 4 \) - максимум.

3. Знайдемо значення функції в кінцях вказаного проміжку та в точках екстремумів:

\[ f(-1) = (-1)^4 - 4(-1)^3 - 8(-1)^2 + 1 = 1 + 4 - 8 + 1 = -2 \]

\[ f(2) = 2^4 - 4(2)^3 - 8(2)^2 + 1 = 16 - 32 - 32 + 1 = -47 \]

Таким чином, найбільше значення на проміжку [-1, 2] - це \( f(-1) = -2 \), а найменше - \( f(2) = -47 \).

4. Накреслимо графік функції. Бажано використовувати графічні програми чи калькулятори, оскільки це спростить процес та дозволить точніше побудувати графік. Якщо використовуєте програму, введіть туди функцію \( f(x) \), а потім позначте точки екстремумів та кінці проміжку. Також можна додати стрілки, вказавши напрямок зростання/спадання функції.

Надіюсь, це допоможе вам розібратися з задачею!