Question

CPOЧНО ПОМОГИТЕ С ВЕРОЯТНОСТЯМИ( напишите небольшое объяснение действий пж) Пять раз бросают симметричную монету. Найдите вероятность того, что: а) решка выпадет чётное число раз б) орёл выпадет не менее трёх раз в) либо ровно 2 раза выпадет решка, либо ровно 3 раза выпадет орёл

Answer 1

Вероятность того, что в одном подбрасывании монеты выпадет решка p= (1/2)

q=1-p=1-(1/2)=(1/2) -вероятность того, что в одном подбрасывании монеты НЕ выпадет решка

a)

При пяти подбрасываниях монеты решка выпадает четное число раз, значит решка выпадает два или четыре раза.

По формуле Бернулли найдем  вероятность того, что при пяти подбрасываниях монеты решка выпадает 2 раза:

$P_{5}(2)=C^2_{5}p^2q^{5-2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}(\frac{1}{2})^2\cdot (\frac{1}{2})^3 =\frac{5!}{2!\cdot 3!}\cdot \frac{1}{32}=\frac{10}{32}$

По формуле Бернулли найдем  вероятность того, что при пяти подбрасываниях монеты решка выпадает 4 раза:

$P_{5}(4)=C^4_{5}p^4q^{5-4}=\frac{5!}{4!(5-4)!}(\frac{1}{2})^4\cdot (\frac{1}{2})^1 =5\cdot \frac{1}{32}=\frac{5}{32}$

По теореме сложения вероятность того, что при пяти подбрасываниях монеты решка выпадает 2 или 4 раза:

$p_{1}=P_{5}(2)+P_{5}(4)=\frac{10}{32}+\frac{5}{32}=\frac{17}{32}$

б)

не менее трех раз значит три, четыре или пять.

По формуле Бернулли найдем  вероятность того, что при пяти подбрасываниях монеты орел выпадает 3 раза:

$P_{5}(3)=C^3_{5}p^3q^{5-3}=\frac{5!}{3!(5-3)!}(\frac{1}{2})^3\cdot (\frac{1}{2})^3 =\frac{5!}{3!\cdot 2!}\cdot \frac{1}{32}=\frac{10}{32}$

По формуле Бернулли найдем  вероятность того, что при пяти подбрасываниях монеты орел выпадает 4 раза:

$P_{5}(4)=C^4_{5}p^4q^{5-4}=\frac{5!}{4!(5-4)!}(\frac{1}{2})^4\cdot (\frac{1}{2})^1 =5\cdot \frac{1}{32}=\frac{5}{32}$

По формуле Бернулли найдем  вероятность того, что при пяти подбрасываниях монеты орел выпадает 5 раз:

$P_{5}(5)=C^5_{5}p^5q^{5-5}=\frac{5!}{5!(5-5)!}(\frac{1}{2})^5\cdot (\frac{1}{2})^0 =1\cdot \frac{1}{32}=\frac{1}{32}$

По теореме сложения вероятность того, что при пяти подбрасываниях монеты орел  выпадает 3 или 4   или 5 раз:

$p_{2}=P_{5}(3)+P_{5}(4)+P_{5}(5)=\frac{10}{32}+\frac{5}{32}+\frac{1}{32}=\frac{16}{32}$

в)

По формуле Бернулли найдем  вероятность того, что при пяти подбрасываниях монеты решка выпадает 2 раза:

$P_{5}(2)=C^2_{5}p^2q^{5-2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}(\frac{1}{2})^2\cdot (\frac{1}{2})^3 =\frac{5!}{2!\cdot 3!}\cdot \frac{1}{32}=\frac{10}{32}$

По формуле Бернулли найдем  вероятность того, что при пяти подбрасываниях монеты орел выпадает 3 раза:

$P_{5}(3)=C^3_{5}p^3q^{5-3}=\frac{5!}{3!(5-3)!}(\frac{1}{2})^3\cdot (\frac{1}{2})^3 =\frac{5!}{3!\cdot 2!}\cdot \frac{1}{32}=\frac{10}{32}$

$p_{3}=P_{5}(2)+P_{5}(3)=\frac{10}{32}+\frac{10}{32}=\frac{20}{32}$

Answer 2

Для решения подобных задач с вероятностями используются комбинаторика и основы теории вероятностей.

Давайте обозначим: - \( P \) - вероятность выпадения решки (орла) при одном броске монеты (так как монета симметрична, \( P(\text{орёл}) = P(\text{решка}) = \frac{1}{2} \)). - \( q \) - вероятность выпадения орла (решки) при одном броске монеты (также \( q = \frac{1}{2} \)).

Теперь рассмотрим каждый из пунктов задачи:

а) Решка выпадет чётное число раз:

Чётные числа из множества \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\) - это \(0, 2, 4\). Таким образом, мы ищем вероятность того, что решка выпадет 0, 2 или 4 раза.

Это можно выразить следующим образом: \[ P(\text{решка чётное число раз}) = P(\text{0 решек}) + P(\text{2 решки}) + P(\text{4 решки}) \]

Для каждого из этих случаев вероятность можно вычислить с использованием биномиального распределения:

\[ P(k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где \( C(n, k) \) - биномиальный коэффициент (число сочетаний из \( n \) по \( k \)), \( p \) - вероятность успеха (в данном случае, выпадения решки), \( q \) - вероятность неудачи (в данном случае, выпадения орла), \( n \) - общее количество бросков монеты.

Таким образом, для 0, 2 и 4 решек мы имеем: \[ P(\text{0 решек}) = C(5, 0) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 \] \[ P(\text{2 решки}) = C(5, 2) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \] \[ P(\text{4 решки}) = C(5, 4) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 \]

б) Орёл выпадет не менее трёх раз:

Так как мы хотим, чтобы орёл выпал не менее трёх раз, мы ищем вероятность того, что орёл выпадет 3, 4 или 5 раз.

\[ P(\text{орёл не менее 3 раз}) = P(\text{3 орла}) + P(\text{4 орла}) + P(\text{5 орлов}) \]

Аналогично предыдущему шагу, мы вычисляем вероятности для каждого случая с использованием биномиального распределения.

в) Либо ровно 2 раза решка, либо ровно 3 раза орёл:

\[ P(\text{ровно 2 раза решка или ровно 3 раза орёл}) = P(\text{2 решки}) + P(\text{3 орла}) \]

Теперь сложим вероятности для каждого из подпунктов (а, б, в), чтобы получить итоговую вероятность.

Учитывая, что \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \), вычислите значения и сложите их, чтобы получить ответ.