Question

Симметричную монету бросают 8 раз. Во сколько раз вероятность события "выпало ровно 4 орла" больше вероятности события "выпадет ровно 3 орла"? Решите пожалуйста с объяснением. Спасибо!

Answer 1

Ответ:

вероятность события "выпало ровно 4 орла" больше вероятности события "выпадет ровно 3 орла" в 1.25 раза

Объяснение:

Вероятность наступления события А - это отношение числа благоприятствующих исходов m к числу всех исходов n.

$\displaystyle P(A) = \frac{m}{n}$

A= {выпало ровно 4 орла }  

B =  {выпало ровно 3 орла }  

В нашем случае число всех исходов 2⁸.

(поясню. бросили 1 раз - получили 2 исхода.

бросили второй раз - из двух исходов вырастает уже 4  по 2 на каждый предыдущий,  

и т.д.

и в результате получим 2⁸ исходов)

Число благоприятных исходов для события А    (бросаем 8 раз, выпадает орел 4 раза)

$\displaystyle C_8^4=\frac{8!}{4!(8-4)!} =\frac{5*6*7*8}{2*3*4} =70$

Число благоприятных исходов для события B аналогично

$\displaystyle C_8^3=\frac{8!}{3!(8-3)!} =\frac{4*5*6*7*8}{2*3*4*5} =56$

Найдем во сколько раз Р(А) больше чем Р(В)

$\displaystyle P(A):P(B) = \frac{70}{2^8} :\frac{56}{2^8} =\frac{70}{56} =1.25$

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся биномиальным распределением, так как мы имеем дело с бинарными событиями (орёл или решка) и проводим несколько независимых испытаний (бросков монеты).

Обозначим: - \( p \) - вероятность выпадения орла при одном броске монеты, - \( q \) - вероятность выпадения решки при одном броске монеты.

Тогда вероятность того, что при \( n \) бросках монеты выпадет ровно \( k \) орлов, вычисляется формулой биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{(n-k)} \]

где \( C_n^k \) - количество сочетаний из \( n \) по \( k \).

В данном случае у нас \( n = 8 \), \( k = 3 \) и \( k = 4 \). Найдем вероятности для каждого из этих случаев:

1. Для \( k = 3 \):

\[ P(X = 3) = C_8^3 \cdot p^3 \cdot q^5 \]

2. Для \( k = 4 \):

\[ P(X = 4) = C_8^4 \cdot p^4 \cdot q^4 \]

Теперь найдем отношение вероятности события "выпало ровно 4 орла" к вероятности события "выпадет ровно 3 орла":

\[ \frac{P(X = 4)}{P(X = 3)} = \frac{C_8^4 \cdot p^4 \cdot q^4}{C_8^3 \cdot p^3 \cdot q^5} \]

Упростим это выражение. \( C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} \) и \( C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} \), где \( n! \) - факториал числа \( n \).

\[ \frac{P(X = 4)}{P(X = 3)} = \frac{\frac{8!}{4!(8-4)!} \cdot p^4 \cdot q^4}{\frac{8!}{3!(8-3)!} \cdot p^3 \cdot q^5} \]

Теперь многие члены сократятся, и мы получим конечное выражение. Подставим значения \( p \) и \( q \) (вероятности орла и решки), и вычислим результат.