Question

Решите системы уровнений: 1)х^2-у^2=3 х^3-у^3=7(х-у)2)х^3+ху^2=10у^3+х^2у=53)х+ху+у=5х^2+ху+у^2=7​

Answer 1

Ответ:

1)

{ x^2 + xy = 2

{ y - 3x = 7

Решаем заменой

{ y = 3x + 7

{ x^2 + x(3x + 7) = 2

Решаем 2 уравнение

x^2 + 3x^2 + 7x - 2 = 0

4x^2 + 7x - 2 = 0

D = 7^2 - 4*4*(-2) = 49 + 32 = 81 = 9^2

x1 = (-7 - 9)/8 = -16/8 = -2; y1 = 3x + 7 = -6 + 7 = 1

x2 = (-7 + 9)/8 = 2/8 = 1/4; y2 = 3x + 7 = 3/4 + 7 = 7 3/4 = 31/4

Ответ: (-2; 1); (1/4; 7 3/4)

2)

{ x^2 + y^2 = 16

{ x + y = 4

Возводим в квадрат 2 уравнение

{ x^2 + y^2 = 16

{ (x + y)^2 = 4^2

Раскрываем скобки

{ x^2 + y^2 = 16

{ x^2 + 2xy + y^2 = 16

Подставляем 1 уравнение во 2 уравнение

16 + 2xy = 16

2xy = 0

x = 0, y1 = 4, y2 = -4 - не подходит под 2 уравнение

y = 0, x1 = 4, x2 = -4 - не подходит под 2 уравнение

Ответ: (4; 0); (0; 4)

3)

{ (x - 1)(y - 1) = 2

{ x + y = 5

Решаем заменой

{ y = 5 - x

{ (x - 1)(5 - x - 1) = 2

Решаем 2 уравнение

(x - 1)(4 - x) - 2 = 0

-x^2 + 5x - 4 - 2 = 0

Умножаем на -1

x^2 - 5x + 6 = 0

(x - 2)(x - 3) = 0

x1 = 2; y1 = 5 - x = 5 - 2 = 3

x2 = 3; y2 = 5 - x = 2

Ответ: (2; 3); (3; 2)

4)

{ (x - 2)(y + 1) = 1

{ x - y = 3

Решаем заменой

{ y = x - 3

{ (x - 2)(x - 3 + 1) = 1

Решаем 2 уравнение

(x - 2)(x - 2) = 1

(x - 2)^2 - 1 = 0

(x - 2 - 1)(x - 2 + 1) = 0

(x - 3)(x - 1) = 0

x1 = 3; y1 = 0

x2 = 1; y2 = -2

Ответ: (3; 0); (1; -2)

Answer 2

Ответ:

1)

{ x^2 + xy = 2

{ y - 3x = 7

Решаем заменой

{ y = 3x + 7

{ x^2 + x(3x + 7) = 2

Решаем 2 уравнение

x^2 + 3x^2 + 7x - 2 = 0

4x^2 + 7x - 2 = 0

D = 7^2 - 4*4*(-2) = 49 + 32 = 81 = 9^2

x1 = (-7 - 9)/8 = -16/8 = -2; y1 = 3x + 7 = -6 + 7 = 1

x2 = (-7 + 9)/8 = 2/8 = 1/4; y2 = 3x + 7 = 3/4 + 7 = 7 3/4 = 31/4

Ответ: (-2; 1); (1/4; 7 3/4)

2)

{ x^2 + y^2 = 16

{ x + y = 4

Возводим в квадрат 2 уравнение

{ x^2 + y^2 = 16

{ (x + y)^2 = 4^2

Раскрываем скобки

{ x^2 + y^2 = 16

{ x^2 + 2xy + y^2 = 16

Подставляем 1 уравнение во 2 уравнение

16 + 2xy = 16

2xy = 0

x = 0, y1 = 4, y2 = -4 - не подходит под 2 уравнение

y = 0, x1 = 4, x2 = -4 - не подходит под 2 уравнение

Ответ: (4; 0); (0; 4)

3)

{ (x - 1)(y - 1) = 2

{ x + y = 5

заменой

{ y = 5 - x

{ (x - 1)(5 - x - 1) = 2

2 уравнение

(x - 1)(4 - x) - 2 = 0

-x^2 + 5x - 4 - 2 = 0

Умножаем на -1

x^2 - 5x + 6 = 0

(x - 2)(x - 3) = 0

x1 = 2; y1 = 5 - x = 5 - 2 = 3

x2 = 3; y2 = 5 - x = 2

Ответ: (2; 3); (3; 2)

4)

{ (x - 2)(y + 1) = 1

{ x - y = 3

заменой

{ y = x - 3

{ (x - 2)(x - 3 + 1) = 1

2 уравнение

(x - 2)(x - 2) = 1

(x - 2)^2 - 1 = 0

(x - 2 - 1)(x - 2 + 1) = 0

(x - 3)(x - 1) = 0

x1 = 3; y1 = 0

x2 = 1; y2 = -2

(3; 0); (1; -2)

Answer 3

1) Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки. В первом уравнении выразим х^2 и у^2: х^2 - у^2 = 3 => х^2 = у^2 + 3

Подставим это выражение во второе уравнение: (у^2 + 3)(х - у) = 7

Раскроем скобки и упростим уравнение: ху - у^3 + 3х - 3у = 7

Теперь заменим ху вторым уравнением и получим систему с одним уравнением с одной переменной: 10у^3 + (х^2 у) = 53 10у^3 + (у^2 + 3)у = 53 у^3 + 3у^2 + 10у - 53 = 0

Решим полученное уравнение: В данном случае можно воспользоваться численным методом или графическим методом для нахождения приближенных значений у.

2) Вторая система уравнений нелинейная и нелинейно зависит от двух переменных. Для ее решения можно воспользоваться методом исключения переменных или многочленной интерполяции.

3) Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом исключения переменных. Например, второе уравнение можно разрешить относительно х и подставить в первое уравнение: х = 5 - ху - у

Подставим полученное значение х в третье уравнение: (5 - ху - у)^2 + ху + у^2 = 7 25 - 10ху - 10у + ху^2 + 2ху + y^2 + у^2 = 7

Приведем уравнение к виду полинома: ху^2 + 2ху + у^2 - 7 - 10ху - 10у + 18 = 0 ху^2 - 8ху + у^2 - 10у + 6 = 0

Теперь получили систему из двух уравнений с двумя переменными ху и у, которую можно решить методом исключения переменных или другими методами решения систем уравнений.