Question

Система x^2-2y^2-xy+2x-y+1=0 и 2x^2-y^2+xy-3y-5=0

Answer 1

$\sf \displaystyle \left \{ {{x^2-2y^2-xy+2x-y+1=0} \atop {2x^2-y^2+xy-3y-5=0}} \right.$

· Первое уравнение системы можно разложить на множители:

$\sf \displaystyle x^2-2y^2-xy+2x-y+1=0 \\ (x^2+xy+x)-2y^2-2xy+x-y+1=0 \\ x(x+y+1)-(2y^2+2xy+2y)+x+y+1=0 \\ x(x+y+1)-2y(x+y+1)+(x+y+1)=0 \\ (x-2y+1)(x+y+1)=0$

· Из полученного разложения выражаем x:

$\sf \displaystyle x=2y-1 \\ x=-y-1$

Этот же результат можно получить, решая это уравнение как квадратное, в котором переменная y играет роль параметра.

· Подставляем x во второе уравнение системы.

Первый случай:

$\sf \displaystyle 2(2y-1)^2-y^2+y(2y-1)-3y-5=0 \\ 3y^2-4y-1=0 \\ D=16+12=\left(2\sqrt7\right)^2 \\ y_1=\frac{4+2\sqrt{7}}{6}=\frac{2+\sqrt{7}}{3} \ \ \Rightarrow \ \ x_1=\frac{4+2\sqrt{7}}{3}-1=\frac{1+2\sqrt{7}}{3} \\ y_2=\frac{4-2\sqrt{7}}{6}=\frac{2-\sqrt{7}}{3} \ \ \Rightarrow \ \ x_2=\frac{4-2\sqrt{7}}{3}-1=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$

Второй Случай:

$\sf \displaystyle 2(-y-1)^2-y^2+y(-y-1)-3y-5=0 \\ -3=0 \\ x \in\varnothing$

Ответ:

$\sf \displaystyle (x_1, \ y_1)=\left(\frac{1+2\sqrt{7}}{3}, \ \frac{2+\sqrt{7}}{3}\right); \ \ (x_2, \ y_2)=\left(\frac{1-2\sqrt{7}}{3}, \ \frac{2-\sqrt{7}}{3}\right)$

Answer 2

Дана система уравнений:

1) x^2 - 2y^2 - xy + 2x - y + 1 = 0 2) 2x^2 - y^2 + xy - 3y - 5 = 0

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом исключения переменных.

Метод подстановки:

1) Решаем первое уравнение относительно одной переменной, например, относительно x:

x = (2y^2 - xy + y - 1) / (2 - 2y)

2) Подставляем найденное значение x во второе уравнение:

2((2y^2 - xy + y - 1) / (2 - 2y))^2 - y^2 + ((2y^2 - xy + y - 1) / (2 - 2y))y - 3y - 5 = 0

Упрощаем выражение и получаем уравнение только относительно переменной y.

После решения этого уравнения, можно будет найти соответствующие значения x.

Метод исключения переменных:

1) Умножаем первое уравнение на 2:

2x^2 - 4y^2 - 2xy + 4x - 2y + 2 = 0

2) Складываем это уравнение с вторым уравнением:

(2x^2 - 4y^2 - 2xy + 4x - 2y + 2) + (2x^2 - y^2 + xy - 3y - 5) = 0

Упрощаем выражение и получаем:

4x^2 - 5y^2 - 5y + 4x - 3 = 0

3) Решаем полученное уравнение относительно одной переменной, например, относительно x:

x = (5y^2 + 5y + 3) / (4 - 4y)

4) Подставляем найденное значение x в первое уравнение или второе уравнение и решаем уравнение относительно переменной y.

После решения этого уравнения, можно будет найти соответствующие значения x.

Оба метода позволяют найти решение системы уравнений. Однако, из-за сложности выражений, решение может быть достаточно сложным и требовать дополнительных вычислений или аппроксимаций. Если у вас есть конкретные значения переменных x и y, то я могу помочь вам найти численное решение данной системы уравнений.