Question

Розвязати нерівність х2-4х-5<0

Answer 1

х^2 - 4х - 5 < 0

(х - 2)² - 4 - 5 < 0

(х - 2)² < 9

|х - 2| < 3

(х-2) є (-3; 3)

х є (-1; 5)

Answer 2

Щоб розв'язати нерівність \( x^2 - 4x - 5 < 0 \), спочатку знайдемо корені квадратного рівняння \( x^2 - 4x - 5 = 0 \), а потім скористаємося методом інтервалів для визначення значень \( x \), для яких нерівність виконується.

Спочатку знайдемо корені квадратного рівняння \( x^2 - 4x - 5 = 0 \). Ми можемо знайти їх за допомогою квадратного рівняння або формули квадратного кореня.

Запишемо квадратне рівняння у вигляді:

\[ x^2 - 4x - 5 = 0 \]

Тепер, щоб знайти корені, скористаємося формулою квадратного кореня:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

У рівнянні \( ax^2 + bx + c = 0 \), коефіцієнти \( a = 1 \), \( b = -4 \) і \( c = -5 \). Підставимо ці значення у формулу квадратного кореня:

\[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm 6}{2} \]

Таким чином, отримаємо два корені:

\[ x_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1 \]

Отже, ми отримали два корені: \( x_1 = 5 \) та \( x_2 = -1 \).

Тепер скористаємося методом інтервалів для визначення значень \( x \), для яких нерівність \( x^2 - 4x - 5 < 0 \) виконується.

Оскільки це квадратна функція \( x^2 - 4x - 5 \) зі знайденими коренями \( x_1 = 5 \) та \( x_2 = -1 \), ми можемо побудувати таблицю знаків або скористатися графіком, щоб з'ясувати, в яких інтервалах нерівність виконується.

Графічно, корені \( x_1 = 5 \) та \( x_2 = -1 \) розділяють вісь \( x \) на три інтервали: \((- \infty, -1)\), \((-1, 5)\) і \((5, +\infty)\).

Для визначення значень \( x \), для яких \( x^2 - 4x - 5 < 0 \), ми обираємо інтервал між коренями, тобто \((-1, 5)\).

Таким чином, розв'язок нерівності \( x^2 - 4x - 5 < 0 \) виглядає так: \( -1 < x < 5 \).