Question

Представьте в виде многочленов 1) (2 + x)³ 2) (5 - b)³

Answer 1

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\\\\1)\; (2+x)^3=2^3+3*2^2*x+3*2*x^2+x^3=8+12x+6x^2+x^3\\\\2)\; (5-b)^3=5^3-3*5^2*b+3*5*b^2-b^3=125-75b+15b^2-b^3$

Answer 2

Давайте развернем выражение \((1 + (2x))^3 + (2 + (5 - b))^3\) с помощью биномиальной теоремы. Напомню, что формула биномиальной теоремы выглядит следующим образом:

\((a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k\),

где \(C_n^k\) - биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\).

Применим эту формулу к каждому слагаемому:

1. \((1 + (2x))^3\):

\((1 + (2x))^3 = \sum_{k=0}^{3} C_3^k \cdot 1^{3-k} \cdot (2x)^k\).

Раскроем выражение:

\(\sum_{k=0}^{3} C_3^k \cdot 1^{3-k} \cdot (2x)^k = C_3^0 \cdot 1^3 \cdot (2x)^0 + C_3^1 \cdot 1^2 \cdot (2x)^1 + C_3^2 \cdot 1^1 \cdot (2x)^2 + C_3^3 \cdot 1^0 \cdot (2x)^3\).

Рассчитаем биномиальные коэффициенты:

\(C_3^0 = 1\),

\(C_3^1 = 3\),

\(C_3^2 = 3\),

\(C_3^3 = 1\).

Подставим значения:

\(1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 2x + 3 \cdot 1 \cdot (2x)^2 + 1 \cdot 1 \cdot (2x)^3\).

Упростим:

\(1 + 6x + 12x^2 + 8x^3\).

2. \((2 + (5 - b))^3\):

\((2 + (5 - b))^3 = \sum_{k=0}^{3} C_3^k \cdot 2^{3-k} \cdot (5-b)^k\).

Раскроем выражение:

\(\sum_{k=0}^{3} C_3^k \cdot 2^{3-k} \cdot (5-b)^k = C_3^0 \cdot 2^3 \cdot (5-b)^0 + C_3^1 \cdot 2^2 \cdot (5-b)^1 + C_3^2 \cdot 2^1 \cdot (5-b)^2 + C_3^3 \cdot 2^0 \cdot (5-b)^3\).

Рассчитаем биномиальные коэффициенты:

\(C_3^0 = 1\),

\(C_3^1 = 3\),

\(C_3^2 = 3\),

\(C_3^3 = 1\).

Подставим значения:

\(1 \cdot 8 \cdot 1 + 3 \cdot 4 \cdot (5-b) + 3 \cdot 2 \cdot (5-b)^2 + 1 \cdot 1 \cdot (5-b)^3\).

Упростим:

\(8 + 12(5-b) + 6(5-b)^2 + (5-b)^3\).

Теперь сложим оба развернутых выражения:

\((1 + (2x))^3 + (2 + (5 - b))^3 = 1 + 6x + 12x^2 + 8x^3 + 8 + 12(5-b) + 6(5-b)^2 + (5-b)^3\).

Сгруппируем по степеням переменных:

\(9 + 6x + 12x^2 + 8x^3 + 12(5-b) + 6(5-b)^2 + (5-b)^3\).

Таким образом, разложенное выражение в виде многочленов:

\(9 + 6x + 12x^2 + 8x^3 + 12(5-b) + 6(5-b)^2 + (5-b)^3\).