Question

В геометрической прогрессии с положительными членами b2=8, b4=72 найдите сумму первых 5 членов​

Answer 1

Ответ:

$b_2=8\ \ ,\ \ b_4=72\\\\\\\left\{\begin{array}{l}b_1q=8\\b_1q^3=72\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}b_1q=8\\(b_1q)\cdot q^2=72\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}b_1q=8\\8\cdot q^2=72\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}b_1=\dfrac{8}{q}\\q^2=9\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}b_1=\pm \dfrac{8}{3}\\q=\pm 3\end{array}\right$

$a)\ \ q=3\ ,\ \ b_1=\dfrac{8}{3}\\\\S_5=\dfrac{b_1(1-q^5)}{1-q}=\dfrac{\frac{8}{3}\cdot (1-243)}{1-3}=\dfrac{8\cdot 242}{3\cdot 2}=\dfrac{968}{3}=\boxed{322\dfrac{2}{3}\ }\\\\\\b)\ \ q=-3\ ,\ \ b_1=-\dfrac{8}{3}\\\\S_5=\dfrac{b_1(1-q^5)}{1-q}=\dfrac{-\frac{8}{3}\cdot (1+243)}{1+3}=-\dfrac{8\cdot 244}{3\cdot 4}=-\dfrac{488}{3}=\boxed{-162\dfrac{2}{3}\ }$

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно сначала найти знаменатель геометрической прогрессии q и первый член b1. Из определения геометрической прогрессии мы знаем, что

b2 = b1 · q b4 = b1 · q3

Подставляя данные значения, получаем

8 = b1 · q 72 = b1 · q3

Деля второе уравнение на первое, находим

q2 = 72 / 8 = 9 q = ±√9 = ±3

Так как члены прогрессии положительны, то берем положительный знаменатель q = 3. Тогда из первого уравнения находим

b1 = 8 / q = 8 / 3

Теперь мы можем найти сумму первых пяти членов прогрессии по формуле

S5 = b1 · (1 - q5) / (1 - q) S5 = (8 / 3) · (1 - 35) / (1 - 3) S5 = (8 / 3) · (-242) / (-2) S5 = 968 / 3

Ответ: сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 968 / 3.геометрическая прогрессия формула