Question

Решите уравнение: x^3-x^2-x+2=0

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ x \approx -1,21 }$

Объяснение:

$x \in \mathbb R$

$x^{3} - x^{2} - x + 2 = 0$

$x^{3} + (-1)\cdot x^{2} + (-1)\cdot x + 2 = 0$

Воспользуемся тригонометрической формулой Виета для решения кубических уравнений.

$Q = \dfrac{a^{2} - 3b}{9} = \dfrac{(-1)^{2} - 3\cdot (-1)}{9} = \dfrac{1 + 3}{9} = \dfrac{4}{9}$

$R = \dfrac{2a^{3} - 9ab + 27c}{54} = \dfrac{2\cdot (-1)^{3} - 9\cdot (-1) \cdot(-1) + 27\cdot 2}{54} = \dfrac{-2 - 9 + 54}{54} =$

$=\dfrac{43}{54} > 0$

$S = Q^{3} - R^{2} = \left( \dfrac{4}{9} \right)^{3} - \left( \dfrac{43}{54} \right)^{2} = \dfrac{64}{729} - \dfrac{1849}{2916} = \dfrac{256 - 1849}{2916} = -\dfrac{1593}{2916}=-\dfrac{59}{108}$

$\displaystyle \left \{ {{S < 0} \atop {Q > 0}} \right.$

$\phi = \dfrac{1}{3} Arch \left( \dfrac{|R|}{\sqrt{Q^{3}} } \right) = \dfrac{1}{3} Arch \left( \dfrac{\dfrac{43}{54} }{\sqrt{\dfrac{64}{729} } } \right) = \dfrac{1}{3} Arch \left( \dfrac{\dfrac{43}{54} }{\dfrac{8}{27} } \right) = \dfrac{1}{3} Arch \left( \dfrac{43 \cdot 27 }{54 \cdot 8 } \right) =$$= \dfrac{1}{3} Arch \left( \dfrac{43}{16} \right) = ch\left( \dfrac{1}{3} Arch( 2,6875) \right)$

$x = -2R \sqrt{Q} \cdot ch(\phi) - \dfrac{a}{3} = -2\cdot \dfrac{43}{54} \cdot \sqrt{\dfrac{4}{9} } \cdot ch\left( \dfrac{1}{3} Arch( 2,6875) \right) - \dfrac{-1}{3} =$

$= -\dfrac{43}{27} \cdot \dfrac{2}{3}ch\left( \dfrac{1}{3} Arch( 2,6875) \right) + \dfrac{1}{3} = -\dfrac{86}{81} ch\left( \dfrac{1}{3} Arch( 2,6875) \right) + \dfrac{1}{3} \approx -1,21$

Answer 2

Для решения данного уравнения x^3 - x^2 - x + 2 = 0, мы можем использовать различные методы, такие как графический метод, метод подстановки, метод деления отрезка пополам или метод Ньютона. Однако, для данного уравнения нет простого аналитического решения, поэтому мы воспользуемся численным методом, например, методом деления отрезка пополам.

Метод деления отрезка пополам (или метод бисекции) основан на промежуточной теореме, которая утверждает, что если функция непрерывна на отрезке [a, b] и принимает значения разных знаков на концах отрезка, то на этом отрезке существует корень уравнения f(x) = 0.

Шаги метода деления отрезка пополам: 1. Найдите два значения a и b, такие что f(a) * f(b) < 0 (т.е. функция принимает значения разных знаков на концах отрезка). 2. Найдите середину отрезка c = (a + b) / 2. 3. Вычислите значение функции f(c). 4. Если f(c) близко к нулю (например, f(c) < epsilon, где epsilon - некоторая малая величина), то c - приближенное значение корня уравнения. 5. Если f(c) * f(a) < 0, то корень находится между a и c, иначе корень находится между c и b. 6. Повторяйте шаги 2-5, пока не достигнута необходимая точность или найдено приближенное значение корня.

Давайте применим этот метод к уравнению x^3 - x^2 - x + 2 = 0:

1. Найдем два значения a и b, такие что f(a) * f(b) < 0: - Попробуем a = -2 и b = 2: f(-2) = (-2)^3 - (-2)^2 - (-2) + 2 = -2 - 4 + 2 + 2 = -2 f(2) = (2)^3 - (2)^2 - (2) + 2 = 8 - 4 - 2 + 2 = 4 - Значения функции принимают разные знаки, поэтому на отрезке [-2, 2] существует корень уравнения.

2. Найдем середину отрезка c = (a + b) / 2: c = (-2 + 2) / 2 = 0 / 2 = 0

3. Вычислим значение функции f(c): f(0) = (0)^3 - (0)^2 - (0) + 2 = 0 - 0 - 0 + 2 = 2

4. Значение функции f(c) не близко к нулю, поэтому перейдем к следующему шагу.

5. Так как f(c) * f(a) = 2 * -2 < 0, то корень находится между a = -2 и c = 0.

6. Повторим шаги 2-5 с новыми значениями a = -2 и b = 0.

Продолжаем повторять шаги 2-5, пока не достигнута необходимая точность или найдено приближенное значение корня.