Question

Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції f(x)=6x-5x2y точці з абсцисою х0=1

Answer 1

Щоб знайти кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції \(f(x) = 6x - 5x^2y\) в точці з абсцисою \(x_0 = 1\), спершу знайдемо похідну функції \(f(x)\) відносно \(x\). Потім використаємо цю похідну для знаходження кутового коефіцієнта дотичної.

1. Знайдення похідної:

Запишемо функцію \(f(x) = 6x - 5x^2y\) та знайдемо часткову похідну за \(x\):

\[f'(x) = 6 - 10xy - 5x^2y'\]

2. Знаходження значення y в точці \(x_0 = 1\):

Підставимо \(x = 1\) у вираз для \(f'(x)\) та використаємо отримане значення для знаходження кутового коефіцієнта дотичної:

\[y_0 = f(1) = 6 - 5 \cdot 1^2 \cdot y_0\]

\[6 - 5y_0 = 6 - 5 \implies y_0 = 1\]

Тепер ми знаємо, що точка дотику має координати \((1, 1)\).

3. Підставлення значень у похідну:

Підставимо \(x = 1\) та \(y = 1\) у вираз для \(f'(x)\):

\[f'(1) = 6 - 10 \cdot 1 \cdot 1 - 5 \cdot 1^2 \cdot y'\]

\[f'(1) = 1 - 5y'\]

Тепер ми знаємо, що похідна \(f'(1) = 1 - 5y'\).

4. Знаходження кутового коефіцієнта дотичної:

Кутовий коефіцієнт дотичної визначається як значення похідної в точці дотику. Таким чином, в нашому випадку:

\[m_{\text{дотичної}} = f'(1) = 1 - 5y'\]

Знайдемо \(y'\) (похідну за \(x\)):

\[5y' = 1 - f'(1)\]

\[y' = \frac{1 - f'(1)}{5}\]

Підставимо значення \(f'(1)\):

\[y' = \frac{1 - (1 - 5y')}{5}\]

\[y' = \frac{5y'}{5}\]

\[y' = 1\]

Отже, кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції \(f(x) = 6x - 5x^2y\) в точці з абсцисою \(x_0 = 1\) дорівнює 1.