Question

Найдите предел функции f(x)=(x^2+x-2)/((x+6)^1/2-2), при х=-2

Answer 1

Ответ:

-12

Объяснение:

f(x)=(x²+x-2)/(√(x+6) -2), x=-2

lim_(x->-2) (x²+x-2)/(√(x+6) -2)=lim_(x->-2) ((x²-x+2x-2)(√(x+6) +2)/((√(x+6) -2)(√(x+6) +2))=lim_(x->-2) ((x(x-1)+2(x-1))(√(x+6) +2))/(x+6-4)=lim_(x->-2) ((x-1)(x+2)(√(x+6) +2))/(x+2)=lim_(x->-2) (x-1)(√(x+6) +2)=-12

(-2-1)(√(-2+6) +2)=-3(√4 +2)=-3·(2+2)=-3·4=-12

Answer 2

Для нахождения предела функции f(x) = (x^2 + x - 2)/((x + 6)^(1/2) - 2) при x = -2, мы можем использовать алгебраические методы и свойства пределов.

Подстановка

Сначала мы можем попробовать просто подставить значение x = -2 в функцию и вычислить ее значение:

f(-2) = (-2^2 + (-2) - 2)/(((-2) + 6)^(1/2) - 2) = (4 - 2 - 2)/((4)^(1/2) - 2) = 0/((4)^(1/2) - 2) = 0/2 = 0.

Таким образом, при подстановке x = -2, функция f(x) принимает значение 0.

Упрощение выражения

Далее, мы можем упростить выражение функции, чтобы лучше понять ее поведение в окрестности точки x = -2.

f(x) = (x^2 + x - 2)/((x + 6)^(1/2) - 2)

Мы можем заметить, что числитель и знаменатель имеют общий множитель (x - 1). Поэтому мы можем сократить это выражение:

f(x) = ((x - 1)(x + 2))/((x + 6)^(1/2) - 2)

Теперь мы можем применить свойство предела:

lim[x->a] (g(x) * h(x)) = lim[x->a] g(x) * lim[x->a] h(x)

Нахождение предела

Мы можем использовать эту свойство, чтобы разделить функцию на две части и найти пределы каждой из них по отдельности:

lim[x->-2] (x - 1) = (-2 - 1) = -3

lim[x->-2] (x + 2) = (-2 + 2) = 0