Question

Y=5x^2+x+1 /x найти точки min / max

Answer 1

Чтобы найти точки минимума и максимума функции \( y = \frac{5x^2+x+1}{x} \), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции. 2. Решите уравнение \( y' = 0 \), чтобы найти критические точки. 3. Используйте вторую производную или тест знаков для определения, является ли каждая критическая точка точкой минимума или максимума.

Давайте выполним эти шаги.

Шаг 1: Найдем производную функции \( y \)

\[ y = \frac{5x^2+x+1}{x} \]

Используем правило частной производной:

\[ y' = \frac{d}{dx} \left(5x + 1 + \frac{1}{x}\right) \]

\[ y' = 5 - \frac{1}{x^2} \]

Шаг 2: Решим уравнение \( y' = 0 \)

\[ 5 - \frac{1}{x^2} = 0 \]

Умножим обе стороны на \( x^2 \):

\[ 5x^2 - 1 = 0 \]

\[ 5x^2 = 1 \]

\[ x^2 = \frac{1}{5} \]

\[ x = \pm \sqrt{\frac{1}{5}} \]

Таким образом, у нас есть две критические точки: \( x = -\sqrt{\frac{1}{5}} \) и \( x = \sqrt{\frac{1}{5}} \).

Шаг 3: Определение точек минимума и максимума

Подсчет второй производной:

\[ y'' = \frac{d}{dx} \left(5 - \frac{1}{x^2}\right) \]

\[ y'' = \frac{2}{x^3} \]

Теперь подставим найденные критические точки:

1. При \( x = -\sqrt{\frac{1}{5}} \): - \( y''(-\sqrt{\frac{1}{5}}) = \frac{2}{(-\sqrt{\frac{1}{5}})^3} \) - знак положительный, следовательно, это точка минимума.

2. При \( x = \sqrt{\frac{1}{5}} \): - \( y''(\sqrt{\frac{1}{5}}) = \frac{2}{(\sqrt{\frac{1}{5}})^3} \) - знак положительный, также точка минимума.

Итак, у функции есть две точки минимума, а именно \( x = -\sqrt{\frac{1}{5}} \) и \( x = \sqrt{\frac{1}{5}} \).