Question

Для функции f(x)= (3/4√x) -3 найдите первообразную, которая проходит через точку А(4;1)

Answer 1

Ответ:

$F(x)=\dfrac{3}{2} \sqrt{x} -3x+10$

Решение:

Рассмотрим функцию:

$f(x)=\dfrac{3}{4\sqrt{x} } -3$

Составим и найдем неопределенный интеграл:

$\displaystyle F(x)=\int \left(\dfrac{3}{4\sqrt{x} } -3\right)\, dx=\int \dfrac{3}{4\sqrt{x} }\, dx -\int 3\, dx=$$\displaystyle =\dfrac{3}{4} \int \dfrac{1}{\sqrt{x} }\, dx -3\int \, dx=\dfrac{3}{4} \cdot2\sqrt{x} -3\cdot x+C=\underline{\dfrac{3}{2}\sqrt{x} -3x+C}$

По условию, первообразная должна проходить через точку $A(4;\ 1)$:

$1=\dfrac{3}{2} \cdot\sqrt{4} -3\cdot4+C$

$1=\dfrac{3}{2} \cdot2-12+C$

$1=3-12+C$

$C=1-3+12=10$

Тогда, искомая первообразная:

$\boxed{F(x)=\dfrac{3}{2} \sqrt{x} -3x+10}$

Элементы теории:

На основе таблицы производных можно составить таблицу интегралов. В частности:

$\displaystyle \int\limits {x^n} \, dx =\frac{x^{n+1}}{n+1} +C,\ n\neq -1$

При $n=0$ получим частный случай:

$\displaystyle \int\limits {} \, dx =x+C$

А при $n=-\dfrac{1}{2}$ другой частный случай:

$\displaystyle \int\limits {\dfrac{1}{\sqrt{x} } } \, dx =2\sqrt{x} +C$

Некоторые свойства неопределенного интеграла:

$\displaystyle \int\limits {\big(f(x)+g(x)\big)} \, dx = \displaystyle \int\limits {f(x)} \, dx+ \displaystyle \int\limits {g(x)} \, dx$

$\displaystyle \int\limits {kf(x)} \, dx =k \displaystyle \int\limits {f(x)} \, dx$

Answer 2

Для нахождения первообразной функции f(x), которая проходит через точку А(4, 1), мы должны использовать процесс интегрирования.

Итак, начнем с данной функции: f(x) = (3/4√x) - 3

Для нахождения первообразной функции f(x), мы должны интегрировать каждый терм отдельно. Давайте начнем с первого терма: (3/4√x).

Интегрирование первого терма

Интегрируем (3/4√x) относительно x. Для этого мы можем использовать формулу замены переменной.

Пусть u = √x, тогда du/dx = 1/(2√x), или du = (1/2√x)dx. Мы можем заменить √x и dx в нашем интеграле с помощью этих значений:

∫(3/4√x) dx = ∫(3/4) * (1/2√x) * 2√x dx = (3/4) * 2 * ∫du = (3/4) * 2 * u + C = (3/2)u + C

Теперь, заменим u обратно в нашем выражении: (3/2)u + C = (3/2)√x + C

Интегрирование второго терма

Интегрируем -3 относительно x. Константа -3 является постоянным членом, так что интегрирование даст -3x.

Получение первообразной

Теперь, чтобы получить первообразную функции f(x), просуммируем два интеграла:

F(x) = (3/2)√x - 3x + C

где C - произвольная постоянная.

Нахождение конкретной первообразной через точку A(4, 1)

Мы знаем, что первообразная функция F(x) должна проходить через точку A(4, 1). Подставим значения x и y из точки A в нашу первообразную:

1 = (3/2)√4 - 3*4 + C 1 = (3/2)*2 - 12 + C 1 = 3 - 12 + C 1 = -9 + C C = 10

Теперь у нас есть конкретная первообразная функции f(x), которая проходит через точку A(4, 1):

F(x) = (3/2)√x - 3x + 10