Question

Решить уравнение х^2+х+1= 15/х^2+х+3

Answer 1

Пусть x²+x+1=t
(t>0...потому что x²>x  при любых x∈(-∞;-1)∪(1;+∞). Остается промежуток [-1;1]...т.к. у нас есть слагаемая 1, то при -1≤х≤1 итоговая сумма будет >0)
$t= \frac{15}{t+2}$ ⇒ t²+2t-15=0
D=64
t1=-5 (не подходит т.к. t>0)
t2=3
x²+x+1=3 ⇒ x²+x-2=0
D=9
x1=-2; x2=1

P.S. (можно было и не записывать t>0, а получив корень t=-5 подставить его в уравнение с заменой, в результате чего получилось бы, что D<0 и уравнение не имеет действительных корней)

Answer 2

Для начала умножим обе части уравнения на \(x^2 + x + 3\), чтобы избавиться от знаменателя:

\((x^2 + x + 1)(x^2 + x + 3) = 15\)

Раскроем скобки:

\(x^4 + x^3 + 3x^2 + x^3 + x^2 + 3x + x^2 + x + 3 = 15\)

Упростим:

\(x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 4x + 3 = 15\)

Теперь выразим все в одной части уравнения:

\(x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 4x - 12 = 0\)

Это уравнение четвертой степени, его решение можно найти с помощью методов решения уравнений высоких степеней, например, методом подстановки или методом Ньютона.