Question

Докажите что для любых действительных чисел x,y и z выполнимо неравенство x²+y²+z²≥xy+yz+zx​

Answer 1

$\displaystyle x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx\ \ \ |\cdot 2\\\\2x^2+2y^2+2z^2\geq2xy+2yz+2zx\\\\2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\geq 0\\\\x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2xz+x^2\geq 0\\\\(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0$

Cумма неотрицательных чисел является неотрицательным числом.

Answer 2

Докажем это неравенство с помощью метода полной арифметической квадратичной формы:

Раскроем квадраты в левой части неравенства: x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить квадратичную форму: x² + y² + z² - xy - yz - zx ≥ 0

Теперь преобразуем полученное неравенство с помощью метода полной арифметической квадратичной формы:

Выразим каждый квадратный член в виде суммы двух произведений и сложим и вычтем одно и то же число: (x² - 2xy + y²) + (y² - 2yz + z²) + (z² - 2zx + x²) ≥ 0

Полученные квадратные трехчлены являются полными квадратами: (x - y)² + (y - z)² + (z - x)² ≥ 0

Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому выражение (x - y)² + (y - z)² + (z - x)² всегда больше или равно нулю. То есть, неравенство x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx выполняется для любых действительных чисел x, y и z.