Question

7. a) В таблице 3х4 надо расставить числа от 1 до 12 так, чтобы разность любых двух чисел, стоящих в одной строке была кратна 3, а разность любых двух чисел в одном столбце - кратна 4. Сколькими способами это можно сделать? b)Можно ли расставить числа от 1 до 24 в таблице 6 x 4 так, чтобы разность любых двух чисел в одной строке была кратна 6, а разность любых двух чисел в одном столбце была кратна 4?

Answer 1

A) 7 10 1 4   все рассуждения выше в  комментарии
    3  6  9 12
   11 2  5  8
б) Как  было  показано  ранее  в комментарии:  если в одной  строке  или  столбце  должны  быть  числа каждая попарная разность  которых кратна числу a. То  в ней  либо все числа кратны  a   либо не  одно  из чисел не  кратно a. Ну  давайте проведем доказательство.
пусть  в столбце  все числа кратны 4. всего в  столбце  6  чисел:
a,b,c,d,e,f,g: Предположим что  одно из чисел кратно  a,то  все числа которые  имеют с ним попарную разность  тоже кратны a,тк  в противном случае  разность этих чисел не  кратна a.  Тк  по  признаку не делимости: если одно  число кратно x, другое не  кратно x,то  разность не кратна x. И  так по цепной реакции можно доказать  ,что все числа  кратны a. Или  если предположить что  одно не  кратно a,то  все остальные также  не кратны a.(аналогичны рассуждения  для строк)
 То  есть как и в прошлой задаче все числа  кратные 4  попадают в один столбец: 4 8 12 16 20 24  -верно  их  6.
А все числа кратные 6  попадут в одну строку соответственно:
6 12 18 24 всего  их 4  верно. Но  числа 12  и 24  оба кратны 4 и 6. То  есть они оба должны попасть  и в строку  6 12 18 24  и  в столбец 24 20 16 12 8 4. одновременно. Что невозможно тк  столбец и строка пересекаются в одной  клетке,а  значит только одно  число может попасть  и в строку и столбец  одновременно. То  есть  мы пришли к  противоречию значит  так расставить числа невозможно.

Answer 2

Расстановка чисел от 1 до 12 в таблице 3x4

Для решения этой задачи нам необходимо расставить числа от 1 до 12 в таблице размером 3x4 таким образом, чтобы разность любых двух чисел, стоящих в одной строке, была кратна 3, а разность любых двух чисел в одном столбце была кратна 4.

Давайте рассмотрим возможные варианты решения задачи.

a) Расстановка чисел от 1 до 12 в таблице 3x4

Для начала, давайте посмотрим на таблицу и вычислим возможные разности чисел в одной строке и в одном столбце:

   1  2  3  4
   5  6  7  8
   9 10 11 12

В одной строке возможные разности чисел будут следующими:

- Между 1 и 2: 2 - 1 = 1 - Между 1 и 3: 3 - 1 = 2 - Между 1 и 4: 4 - 1 = 3 - Между 2 и 3: 3 - 2 = 1 - Между 2 и 4: 4 - 2 = 2 - Между 3 и 4: 4 - 3 = 1

В одном столбце возможные разности чисел будут следующими:

- Между 1 и 5: 5 - 1 = 4 - Между 1 и 9: 9 - 1 = 8 - Между 5 и 9: 9 - 5 = 4 - Между 2 и 6: 6 - 2 = 4 - Между 2 и 10: 10 - 2 = 8 - Между 6 и 10: 10 - 6 = 4 - Между 3 и 7: 7 - 3 = 4 - Между 3 и 11: 11 - 3 = 8 - Между 7 и 11: 11 - 7 = 4 - Между 4 и 8: 8 - 4 = 4 - Между 4 и 12: 12 - 4 = 8 - Между 8 и 12: 12 - 8 = 4

Теперь, чтобы разность любых двух чисел в одной строке была кратна 3, а разность любых двух чисел в одном столбце была кратна 4, мы можем расставить числа следующим образом:

   1  4  7  10
   5  8  11  2
   9  12  3  6

b) Расстановка чисел от 1 до 24 в таблице 6x4

Теперь рассмотрим вторую часть задачи, где нам необходимо расставить числа от 1 до 24 в таблице размером 6x4 таким образом, чтобы разность любых двух чисел в одной строке была кратна 6, а разность любых двух чисел в одном столбце была кратна 4.

Аналогично предыдущей части, давайте вычислим возможные разности чисел в одной строке и в одном столбце:

   1   2   3   4
   5   6   7   8
   9  10  11  12
  13  14  15  16
  17  18  19  20
  21  22  23  24

В одной строке возможные разности чисел будут следующими:

- Между 1 и 2: 2 - 1 = 1 - Между 1 и 3: 3 - 1 = 2 - Между 1 и 4: 4 - 1 = 3 - Между 2 и 3: 3 - 2 = 1 - Между 2 и 4: 4 - 2 = 2 - Между 3 и 4: 4 - 3 = 1

В одном столбце возможные разности чисел будут следующими:

- Между 1 и 5: 5 - 1 = 4 - Между 1 и 9: 9 - 1 = 8 - Между 1 и 13: 13 - 1 = 12 - Между 1 и 17: 17 - 1 = 16 - Между 1 и 21: 21 - 1 = 20 - Между 5 и 9: 9 - 5 = 4 - Между 5 и 13: 13 - 5 = 8 - Между 5 и 17: 17 - 5 = 12 - Между 5 и 21: 21 - 5 = 16 - Между 9 и 13: 13 - 9 = 4 - Между 9 и 17: 17 - 9 = 8 - Между 9 и 21: 21 - 9 = 12 - Между 13 и 17: 17 - 13 = 4 - Между 13 и 21: 21 - 13 = 8 - Между 17 и 21: 21 - 17 = 4

Теперь, чтобы разность любых двух чисел в одной строке была кратна 6, а разность любых двух чисел в одном столбце была кратна 4, мы можем расставить числа следующим образом:

   1   5   9  13
   2   6  10  14
   3   7  11  15
   4   8  12  16
  17  21  2   6
  18  22  10  14

Таким образом, мы можем расставить числа от 1 до 12 в таблице 3x4 одним способом, а числа от 1 до 24 в таблице 6x4 - тоже одним способом.