Question

Cos(a-b), если sinasinb=1/2 и a+b =3p/2

Answer 1

I hope this helps you

Answer 2

Мы имеем следующие данные:

1. $\sin(a) \cdot \sin(b) = \frac{1}{2}$
2. $a + b = \frac{3\pi}{2}$

Давайте начнем с того, что $a$ и $b$ находятся во второй и третьей четвертях (поскольку их сумма равна $\frac{3\pi}{2}$). Вторая и третья четверти охватывают углы между $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$.

Мы знаем, что $\sin(x)$ положителен во второй четверти и отрицателен в третьей. Однако, так как $\sin(a) \cdot \sin(b)$ положителен ($\frac{1}{2}$ является положительным числом), оба угла $a$ и $b$ должны находиться во второй четверти.

Теперь, чтобы найти $\cos(a - b)$, мы можем использовать формулу для косинуса разности:

$$\cos(a - b) = \cos(a) \cdot \cos(b) + \sin(a) \cdot \sin(b)$$

Так как $\sin(a) \cdot \sin(b) = \frac{1}{2}$, нам нужно найти значения $\cos(a)$ и $\cos(b)$.

Сначала найдем $\cos(a)$. Мы знаем, что $a + b = \frac{3\pi}{2}$. Используем тригонометрическую тождественную формулу $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) - \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)$, чтобы найти $\cos(a + b)$:

$$\cos(a + b) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$$

Теперь, используя формулу суммы косинусов $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) - \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)$, мы можем выразить $\cos(a)$ через $\cos(b)$:

$$\cos(a) = \frac{\cos(a + b) + \sin(a) \cdot \sin(b)}{\cos(b)}$$

Поскольку $\cos(a + b) = 0$ и $\sin(a) \cdot \sin(b) = \frac{1}{2}$, получим:

$$\cos(a) = \frac{\frac{1}{2}}{\cos(b)} = \frac{1}{2\cos(b)}$$

Теперь, мы можем подставить это значение $\cos(a)$ в исходную формулу для $\cos(a - b)$:

$$\cos(a - b) = \frac{1}{2\cos(b)} \cdot \cos(b) + \frac{1}{2}\sin(b) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sin(b)$$

Окончательный ответ:

$$\cos(a - b) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sin(b)$$

Чтобы найти $\sin(b)$, нам нужно использовать информацию из уравнения $\sin(a) \cdot \sin(b) = \frac{1}{2}$. Подставим значение $\sin(b) = \frac{1}{2\sin(a)}$ в выражение для $\cos(a - b)$:

$$\cos(a - b) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\sin(a)} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4\sin(a)}<$$