Question

Чому дорівнює косинус кута між векторами a і в, якщо вектори m = 3a - в і n = a + 5в перпендикулярні, a = 5, в = 3.

Answer 1

Щоб знайти косинус кута між векторами \( \mathbf{a} \) і \( \mathbf{b} \), спочатку потрібно знайти їх скалярний добуток, а потім визначити довжини кожного з векторів.

Скалярний добуток двох векторів \( \mathbf{a} \) і \( \mathbf{b} \) визначається за формулою:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos(\theta) \]

де \( |\mathbf{a}| \) і \( |\mathbf{b}| \) - довжини векторів \( \mathbf{a} \) і \( \mathbf{b} \) відповідно, а \( \theta \) - кут між ними.

У цьому випадку, вам дані два вектори:

\[ \mathbf{m} = 3\mathbf{a} - \mathbf{b} \] \[ \mathbf{n} = \mathbf{a} + 5\mathbf{b} \]

І також надані значення:

\[ |\mathbf{a}| = 5, \quad |\mathbf{b}| = 3 \]

Знаходимо довжину вектора \( \mathbf{m} \):

\[ |\mathbf{m}| = |3\mathbf{a} - \mathbf{b}| = |3|\mathbf{a}| - |\mathbf{b}| = 3 \cdot 5 - 3 = 12 \]

Тепер знаходимо довжину вектора \( \mathbf{n} \):

\[ |\mathbf{n}| = |\mathbf{a} + 5\mathbf{b}| = |\mathbf{a}| + 5|\mathbf{b}| = 5 + 5 \cdot 3 = 20 \]

Далі знаходимо скалярний добуток \( \mathbf{m} \) і \( \mathbf{n} \):

\[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = |\mathbf{m}| \cdot |\mathbf{n}| \cdot \cos(\theta) \]

\[ 12 \cdot 20 \cdot \cos(\theta) = 240 \cdot \cos(\theta) \]

Тепер знаходимо косинус кута \( \theta \):

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}}{|\mathbf{m}| \cdot |\mathbf{n}|} = \frac{240}{240} = 1 \]

Так як косинус \( \theta = 1 \), це означає, що кут між векторами \( \mathbf{m} \) і \( \mathbf{n} \) дорівнює \( 0^\circ \) або \( 2\pi \) радіан. Однак, оскільки \( \mathbf{m} \) і \( \mathbf{n} \) є векторами, які лежать в різних напрямках, їх кути вважаються спротивними один одному, тобто \( \pi \) радіан або \( 180^\circ \).