Question

Чи ділиться націло на 3: 1+2+2²+2³+...+2²⁰¹¹​

Answer 1

Ответ:

21+22+...+2100=(21+22)+(23+24)+...+(299+2100)=21(1+2)+23(1+2)+...+299(1+2)=21∗3+23∗3+...+299∗3=3∗(21+23+...+299)⋮3

Answer 2

1+2+2²+2³+...+2²⁰¹¹​ = 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵+ ... + 2²⁰¹⁰ + 2²⁰¹¹​  =

= 3 + 2²(1 +2) + 2⁴(1 + 2) + 2⁶(1+2) + ... + 2²⁰¹⁰(1+2) =

= 3*(1 + 2² + 2⁴ + 2⁶ + ... + 2²⁰¹⁰) – кратно трём, ибо содержит множитель 3

Answer 3

Щоб визначити, чи ділиться націло сума цієї послідовності на 3, ми можемо використати факт, що сума геометричної прогресії обчислюється за формулою:

S = a * (1 - r^n) / (1 - r),

де: S - сума прогресії, a - перший член прогресії, r - знаменник прогресії, n - кількість членів прогресії.

У нашому випадку: a = 1 (перший член прогресії), r = 2 (знаменник прогресії, кожен наступний член дорівнює попередньому помноженому на 2), n = 2011 (кількість членів прогресії, включаючи перший член і останній член, які рахуються).

Тепер ми можемо підставити ці значення в формулу:

S = 1 * (1 - 2^2011) / (1 - 2)

S = (1 - 2^2011) / (-1)

Спростимо це вираз:

S = 2^2011 - 1

Тепер ми можемо перевірити, чи це число ділиться націло на 3. Для цього можемо використовувати теорему про ділення націло на 3, яка говорить, що число ділиться націло на 3, якщо і лише якщо сума його цифр також ділиться націло на 3.

Ми можемо знайти суму цифр числа 2^2011 шляхом обчислення 2^2011 і додавання всіх його цифр. Однак величина 2^2011 дуже велика, і важко обчислювати її точно. Тому ми сконцентруємося на обчисленні залишку від ділення 2^2011 на 3.

Ми можемо використовувати рекурентну формулу для обчислення залишку від ділення степеня двійки на 3:

2^0 ≡ 1 (mod 3) 2^1 ≡ 2 (mod 3) 2^2 ≡ 1 (mod 3) 2^3 ≡ 2 (mod 3)

Тут "≡" означає "конгруентне залишку від ділення".

Якщо ми продовжимо цей процес, ми побачимо, що залишок від ділення 2^n на 3 чергується між 1 і 2 для всіх n. Тобто, для будь-якого натурального n, 2^n ≡ 1 (mod 3), якщо n - парне число, і 2^n ≡ 2 (mod 3), якщо n - непарне число.

Так як 2011 - непарне число (бо воно не ділиться націло на 2), то ми можемо припустити, що:

2^2011 ≡ 2 (mod 3)

Тепер ми можемо обчислити залишок від ділення S = 2^2011 - 1 на 3:

S ≡ (2 - 1) (mod 3)

S ≡ 1 (mod 3)

Отже, сума цієї послідовності не ділиться націло на 3.