Question

При каких значениях параметра a уравнение x^4-ax^2+a^2-a-2=0 имеет три корня

Answer 1

Ответ:

Ответ при a=2

Объяснение:

Замечание. Биквадратное уравнение имеет четыре корня.

Уместно говорить про три корня имея ввиду что они действительные.

Будем считать что в условии задачи говорится о трех действительных корнях.

Биквадратное уравнение в общем случае имеет вид

ax⁴+bx²+c=0

решая его мы делаем замену y=x²

и получаем уравнение  ay²+by+c=0

если с=0 то получается что ay²+by=0

y(ay+b)=0  или

x²(ax²+b)=0

один корень равен x₁=0  

x²= -b/a

x₂₋₃=±√(-b/a)

таким образом биквадратное уравнение имеет три корня если

c=0 и -b/a>0

В нашем случае это будет

a²-a-2=0

и -(-a)/1>0 ⇒ a>0

a²-a-2=0

a₁₋₂=(1±√(1+8))/2=(1±√9)/2=(1±3)/2∈{-1;2}

так как a>0 то a=2

Ответ при a=2

Проверка

x⁴-2x²+2²-2-2=0

x⁴-2x²=0

x⁴-2x²=0

x²(x²-2)=0

x₁=0;  x₂=√2; x₃=-√2

Answer 2

Для того чтобы уравнение имело три корня, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был положительным.

Дискриминант уравнения x^4 - ax^2 + a^2 - a - 2 равен:

D = (-a)^2 - 4(1)(a^2 - a - 2) = a^2 - 4a^2 + 4a + 8 = -3a^2 + 4a + 8

Так как дискриминант должен быть положительным, то -3a^2 + 4a + 8 > 0.

Можем решить данное неравенство методом интервалов:

Для начала найдем корни уравнения -3a^2 + 4a + 8 = 0. Производим дискриминант:

D = (4)^2 - 4(-3)(8) = 16 + 96 = 112

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два корня:

a1 = (4 - √112) / -6 ≈ 2.155

a2 = (4 + √112) / -6 ≈ -0.822

Теперь построим таблицу знаков. Выберем произвольное значение между a1 и a2, например, a = 0. Подставим это значение в неравенство:

-3(0)^2 + 4(0) + 8 > 0

8 > 0

Таким образом, при значениях параметра a из интервала (-∞, -0.822) и (2.155, +∞) уравнение будет иметь три корня.