Question

Решите,пожалуйста,с подробным решением!!! Завтра уже нужно сдать. А я запуталась( 1) log1/2(x)≥-3 2) log5(3x+1)<2 3)log0.5(x/3)≥ -2 4)log2(x^2-6x+24)<4

Answer 1

1). log1/2(x)>=-3
ОДЗ:
x>0
Далее:
log1/2(x)>=log1/2 (8)
Т.к. основание логарифма <1, то меняем знак неравенства на противоположный:
x<=8
Совмещаем с ОДЗ и получаем:
 
_______(0)_________  ОДЗ
                  //////////////////

___________[8]______
//////////////////////
Ответ:(0;8]

2).log5(3x+1)<2
ОДЗ:
3x+1>0
x>-1/3
Далее:
log5(3x+1)<log5(25)
3x+1<25
3x<24
x<8

__________(-1/3)__________
                             ///////////////////

_________________(8)______
//////////////////////////////////

Ответ:(-1/3; 8)

3).log0,5(x/3)>=-2
ОДЗ:
x/3>0
x>0
Далее:
log0,5(x/3)>=log0,5(4)
x/3<=4
x<=12

__________(0)__________
                        /////////////////////

_______________[12]_____
///////////////////////////////

Ответ:(0;12]

4).log2(x^2-6x+24)<4
ОДЗ:
x^2-6x+24>0
D<0, поэтому решением этого неравенства будет промежуток (-бесконечность;+бескон.)
log2(x^2-6x+24)<log2 (16)
x^2-6x+24<16
x^2-6x+24-16<0
x^2-6x+8<0
D=(-6)^2-4*8=4
x1=(6-2)/2=2
x2=(6+2)/2=4
(x-2)(x-4)<0

________(2)_______(4)_______
                  ///////////////////
Ответ:(2;4)

Answer 2

1) log1/2(x)≥-3

Для начала, преобразуем левую часть неравенства, используя свойство логарифма: log1/2(x) = -log2(x)

Теперь неравенство принимает вид: -log2(x) ≥ -3

Умножим обе части неравенства на -1 (и поменяем знак неравенства): log2(x) ≤ 3

Теперь применим свойство логарифма, чтобы избавиться от логарифма: 2^3 ≤ x

Таким образом, x ≥ 8

2) log5(3x+1) < 2

Применим свойство логарифма, чтобы избавиться от логарифма: 5^2 > 3x+1

Таким образом, 25 > 3x+1 24 > 3x 8 > x

3) log0.5(x/3) ≥ -2

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство логарифма: log0.5(x/3) = -log2(x/3)

Теперь неравенство принимает вид: -log2(x/3) ≥ -2

Умножим обе части неравенства на -1 (и поменяем знак неравенства): log2(x/3) ≤ 2

Теперь применим свойство логарифма, чтобы избавиться от логарифма: 2^2 ≥ x/3 4 ≥ x/3 12 ≥ x

4) log2(x^2-6x+24) < 4

Применим свойство логарифма, чтобы избавиться от логарифма: 2^4 > x^2-6x+24

Таким образом, 16 > x^2-6x+24 0 > x^2-6x+8 0 > (x-4)(x-2)

Решая квадратное неравенство, получаем: 2 < x < 4

Таким образом, итоговые решения неравенств: 1) x ≥ 8 2) x < 8 3) 12 ≥ x 4) 2 < x < 4