Question

Log3(3/x)log2(x)-log3(x^3/√3)=1/2+log2(√x)​

Answer 1

Решение представлен на фотографий:

Answer 2

$\log_3\left(\dfrac{3}{x}\right)\log_2x - \log_3\left(\dfrac{x^3}{\sqrt{3}}\right) = \dfrac{1}{2} + \log_2\left(\sqrt{x}\ \right)$

Найдём область определения.

$\begin{equation*}\begin{cases}\dfrac{3}{x} > 0\\\\x > 0\\\\\dfrac{x^3}{\sqrt{3}} > 0\\\\\sqrt{x} > 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x > 0\\\\x > 0\\\\x > 0\\\\x > 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \Rightarrow\ \boxed{\boldsymbol{x > 0}}$

Применим свойство логарифма: $\log_{a}\dfrac{x}{y} = \log_ax - \log_ay$ . Отсюда:

$\log_2x\left(\log_33 - \log_3x\right) - \log_3\left(\dfrac{x^3}{\sqrt{3}}\right) = \dfrac{1}{2} + \log_2\left(x^{\frac{1}{2}}\right)$

Применим ещё два свойства: $\log_aa = 1$, $\log_ax^p = p\cdot \log_ax$, поэтому:

$\log_2x\left(1 - \log_3x\right) - \log_3\left(\dfrac{x^3}{\sqrt{3}}\right) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\log_2x}{2}$

Преобразуем дробь под знаком логарифма: $\dfrac{x^3}{\sqrt{3}} = \dfrac{x^3\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}} = \dfrac{x^3\sqrt{3}}{3}$ .

$\log_2x\left(1 - \log_3x\right) - \log_3\left(\dfrac{x^3\sqrt{3}}{3}\right) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\log_2x}{2}\\\\\\\log_2x\left(1 - \log_3x\right) - \left(\log_3\left(x^3\sqrt{3}\right) - \log_33\right) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\log_2x}{2}$

Раскрываем скобки:

$\log_2x - \log_2x\cdot\log_3x - \log_3\left(x^3\sqrt{3}\right) + 1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\log_2x}{2}$

Применяем ещё одно свойство логарифма: $\log_axy = \log_ax + \log_ay$ .

$\log_2x - \log_2x\cdot\log_3x - \left(\log_3\left(x^3\right) + \log_3\left(\sqrt{3}\right)\right) + 1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\log_2x}{2}\\\\\log_2x - \log_2x\cdot\log_3x - 3\log_3x - \log_3\left(3^{\frac{1}{2}}\right) + 1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\log_2x}{2}\\\\\log_2x - \log_2x\cdot\log_3x - 3\log_3x - \dfrac{\log_33}{2} +1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\log_2x}{2}\\\\\log_2x - \log_2x\cdot\log_3x - 3\log_3x - \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\log_2x}{2}$

$\log_2x - \log_2x\cdot\log_3x - 3\log_3x + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\log_2x}{2}$

Уничтожаем одинаковые слагаемые  $\dfrac{1}{2}$ по разные стороны знака "равно".

$\log_2x - \log_2x\cdot\log_3x - 3\log_3x = \dfrac{\log_2x}{2}\\\\\log_2x - \log_2x\cdot\log_3x - 3\log_3x - \dfrac{\log_2x}{2} = 0\\\\\dfrac{\log_2x}{2} - \log_2x\cdot\log_3x - 3\log_3x = 0\ \ \ \ \ \ \ \Big| \cdot 2\\\\\log_2x - 2\cdot\log_2x\cdot\log_3x - 6\log_3x = 0$

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $\log_ab = \dfrac{\log_cb}{\log_ca}$ , переходить будем к основанию 2 там, где основание 3.

$\log_2x - 2\cdot\log_2x\cdot\dfrac{\log_2x}{\log_23} - 6\cdot\dfrac{\log_2x}{\log_23} = 0\\\\\\\log_2x - \dfrac{2\cdot\log_2x\cdot\log_2x}{\log_23} - \dfrac{6\log_2x}{\log_23} = 0\\\\\\\log_2x - \dfrac{2\cdot\log^2_2x}{\log_23} - \dfrac{6\log_2x}{\log_23} = 0\ \ \ \ \ \ \ \Big| \cdot \log_23\\\\\\\log_2x \cdot\log_23 - 2\log^2_2x - 6\log_2x = 0\\\\\log_2x\left(\log_23 - 2\log_2x - 6\right) = 0$

Рассматриваем два случая.

$\left[\begin{gathered}\log_2x = 0\\\\\log_23 - 2\log_2x - 6 = 0\end{gathered}\ \ \ \ \ \Leftrightarrow\ \left[\begin{gathered}x = 1\\\\\log_23 - 2\log_2x - 6 = 0\end{gathered}$

Второе уравнение решим отдельно.

$\log_23 - 2\log_2x - 6 = 0\\\\2\log_2x = \log_23 - 6\ \ \ \ \ \ \ \Big| :2\\\\\log_2x = \dfrac{\log_23}{2} - 3$

Если  $\log_ab=c$ , то $a^c = b$. В нашем случае:

$x= 2^{\frac{\log_23}{2} - 3$

Воспользуемся свойством степени: $a^{m-n} = \dfrac{a^m}{a^n}$ .

$x = \dfrac{2^{\frac{\log_23}{2}}}{2^3}\\\\\\x = \dfrac{2^{\frac{\log_23}{2}}}{8}$

$\dfrac{\log_23}{2} = \dfrac{1}{2}\cdot\log_23$ , а потому можно вновь воспользоваться свойством, тогда получится  $\log_2\left(3^{\frac{1}{2}}\right) = \log_2\left(\sqrt{3}\right)$ . Тогда получается:

$x = \dfrac{2^{\log_2\left(\sqrt{3}\right)}}{8}$

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством: $a^{\log_ab} = b$, отсюда:

$\boxed{x = \dfrac{\sqrt{3}}{8}}$ .

Мы нашли два решения:

$\left[\begin{gathered}x = 1\\\\x = \dfrac{\sqrt{3}}{8}\\\end{gathered}$

Оба они подходят области определения $\boldsymbol{x > 0}$, а значит, оба являются решениями уравнения.

Ответ:  $\dfrac{\sqrt{3}}{8};\ 1$

Answer 3

Давайте разберём данное уравнение по шагам.

Исходное уравнение: log₃(3/x) * log₂(x) - log₃(x^3/√3) = 1/2 + log₂(√x)

Для начала, мы можем использовать некоторые свойства логарифмов, чтобы упростить уравнение:

1. Правило изменения основания логарифма: logₐ(b) = logᵦ(a), где a, b > 0, a ≠ 1.

Исходное уравнение становится: log₂(x) * log₃(3/x) - log₂(√3) - 3 * log₂(x) = 1/2 + log₂(√x)

2. Правило суммы логарифмов: logₐ(b) + logₐ(c) = logₐ(b * c)

Применим это правило к первому члену уравнения: log₂(x) * log₃(3/x) - log₂(√3) - 3 * log₂(x) = log₂((3/x)^(log₃(3/x))) - log₂(√3) - 3 * log₂(x)

3. Правило степени в логарифме: logₐ(b^c) = c * logₐ(b)

Используем это правило для первого члена: log₂(x) * (log₃(3/x)) - log₂(√3) - 3 * log₂(x) = log₂((3/x)^(log₃(3/x))) - log₂(√3) - log₂(x^3)

4. Правило логарифма от корня: logₐ(√b) = (1/2) * logₐ(b)

Применим это правило ко второму члену: log₂(x) * (log₃(3/x)) - (1/2) * log₂(3) - 3 * log₂(x) = log₂((3/x)^(log₃(3/x))) - (1/2) * log₂(3) - log₂(x^3)

Теперь давайте объединим все логарифмы с одинаковой базой: log₂(x) * log₃(3/x) - (1/2) * log₂(3) - 3 * log₂(x) = log₂((3/x)^(log₃(3/x))) - (1/2) * log₂(3) - log₂(x^3)

Теперь у нас есть два логарифма с одной и той же базой (2), поэтому мы можем применить правило равенства логарифмов:

log₂(x) * log₃(3/x) - 3 * log₂(x) - (1/2) * log₂(3) = log₂((3/x)^(log₃(3/x))) - (1/2) * log₂(3) - log₂(x^3)

Теперь давайте упростим уравнение, избавившись от дробей и применив свойства логарифмов:

log₂(x) * log₃(3/x) - 3 * log₂(x) - (1/2) * log₂(3) = log₂((3/x)^(log₃(3/x))) - (1/2) * log₂(3) - log₂(x^3)

Теперь давайте избавимся от общего слагаемого (-1/2) * log₂(3) с обеих сторон уравнения:

log₂(x) * log₃(3/x) - 3 * log₂(x) = log₂((3/x)^(log₃(3/x))) - log₂(x^3)

Теперь мы можем использовать свойство равенства логарифмов (если logₐ(b) = logₐ(c), то b = c) для логарифмов с разными основаниями (2 и 3):

log₃(3/x) - 3 * log₂(x) = log₂((3/x)^(log₃(3/x))) - log₂(x^3)

Теперь мы можем использовать свойство логарифма степени:

log₃(3/x) - 3 * log₂(x) = log₂((3/x)^(log₃(3/x) - log₂(x^3)))

Теперь обратите внимание, что у нас есть два логарифма с разными основаниями, и мы хотим избавиться от них. Для этого мы можем воспользоваться следующими свойствами:

1. logₐ(b) = logₐ(c) эквивалентно a^logₐ(b) = a^logₐ(c) 2. logₐ(b) * log_b(c) = log_a(c)

Применим эти свойства к нашему уравнению:

3/x = (3/x)^(log₃(3/x) - log₂(x^3))

Теперь у нас есть равенство степеней с одинаковыми основаниями:

3/x = (3/x)^(log₃(3/x) - log₂(x^3))

Для того чтобы уравнение имело решение, степени должны быть равны:

log₃(3/x) - log₂(x^3) = 1

Теперь у нас есть уравнение с логарифмами, которое мы можем решить. Давайте продолжим:

log₃(3/x) - log₂(x^3) = 1

Теперь давайте воспользуемся правилом разности логарифмов:

log₃(3/x) - log₂(x^3) = log₃(3/x) - 3 * log₂(x) = 1

Теперь добавим 3 * log₂(x) к обеим сторонам уравнения:

log₃(3/x) = 1 + 3 * log₂(x)

Теперь давайте избавимся от

Answer 4

Для начала, произведем несколько преобразований, чтобы упростить данное уравнение.

1) Применим свойства логарифмов: log3(3/x) = log3(3) - log3(x) = 1 - log3(x) log3(x^3/√3) = 3log3(x) - log3(√3) = 3log3(x) - 1/2

2) Заменим log2(√x) на 1/2log2(x): log2(√x) = 1/2log2(x)

Теперь уравнение примет вид: (1 - log3(x))log2(x) - (3log3(x) - 1/2) = 1/2 + 1/2log2(x)

Раскроем скобки: log2(x) - log3(x)log2(x) - 3log3(x) + 1/2 = 1/2 + 1/2log2(x)

Упростим: log2(x) - log3(x)log2(x) - 3log3(x) = 0

Вынесем log2(x) за скобки: log2(x)(1 - log3(x)) - 3log3(x) = 0

Разделим обе части уравнения на log3(x): log2(x)(1 - log3(x))/log3(x) - 3 = 0

Теперь заметим, что log2(x)/log3(x) = log3(x)/log2(x) в силу свойства логарифма: log2(x)(1 - log3(x))/log3(x) - 3 = log3(x)(1