Question

Функцію задано формулою f(x)= -x²-6x-5. 1) Знайдіть проміжок спадання функції f(x).2) Розв'яжіть нерівність -х²-6х>5.​

Answer 1

Ответ:

В решении.

Объяснение:

Функцію задано формулою f(x)= -x² - 6x - 5.

1) Знайдіть проміжок спадання функції f(x).

Квадратичная функция, график - парабола, ветви направлены вниз.

Придать значения х, подставить в уравнение, вычислить у, записать в таблицу, построить график.

                  Таблица:

х   -7    -6    -5    -4    -3    -2    -1      0      1

у   -12   -5     0     3     4     3     0    -5    -12

Согласно графика, функция убывает при х∈(-3; +∞).

2) Розв'яжіть нерівність -х²-6х>5.​

-х² - 6х > 5​

-х² - 6х - 5​ > 0

Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение:

-х² - 6х - 5​ = 0/-1

х² + 6х + 5​ = 0

D=b²-4ac =36 - 20 = 16         √D=4

х₁=(-b-√D)/2a

х₁=(-6-4)/2

х₁= -10/2

х₁= -5;                

х₂=(-b+√D)/2a

х₂=(-6+4)/2

х₂= -2/2

х₂= -1.

Уравнение квадратичной функции, график - парабола, ветви направлены вниз, пересекают ось Ох в точках х= -5 и х= -1.  

Решение неравенства: х∈(-5; -1).

Неравенство строгое, скобки круглые.

Answer 2

Щоб знайти проміжок спадання функції \(f(x)\), спочатку необхідно знайти координати вершини параболи, яка описує функцію \(f(x)\). Формула для вершини параболи зазвичай записується у вигляді \(x = -\frac{b}{2a}\), де у вашому випадку \(a = -1\) і \(b = -6\). Підставимо ці значення у формулу:

\[x = -\frac{-6}{2(-1)} = -\frac{6}{-2} = 3.\]

Тепер, коли ми знаємо координати вершини параболи (\(x = 3\)), ми можемо визначити проміжок спадання. Оскільки у квадратичної функції з від'ємним коефіцієнтом \(a\) парабола відкрита донизу, це означає, що функція спадає на всьому проміжку за умови, що дискримінант виразу \(b^2 - 4ac\) менший за нуль.

У вашому випадку, ми маємо квадратичне рівняння \(-x^2 - 6x - 5\). Для знаходження проміжку спадання ми повинні перевірити дискримінант виразу \(b^2 - 4ac\) для умови \(a = -1\), \(b = -6\) і \(c = -5\). Підставимо ці значення:

\[D = (-6)^2 - 4(-1)(-5) = 36 - 20 = 16.\]

Оскільки \(D\) дорівнює 16, що більше за нуль, це означає, що у нас немає обмеження для значень \(x\), і функція спадає на всьому проміжку.

Тепер перейдемо до розв'язання нерівності \(-x^2 - 6x > 5\). Для цього спочатку перепишемо нерівність у канонічній формі:

\(-x^2 - 6x - 5 > 0\).

Тепер ми можемо вирішити цю нерівність за допомогою методу зміни знаку. Спочатку знайдемо корені квадратного рівняння, що відповідає нерівності:

\(-x^2 - 6x - 5 = 0\).

Застосуємо квадратну формулу:

\[x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(-1)(-5)}}{2(-1)}\] \[x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{-2}\] \[x = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{-2}\] \[x = \frac{6 \pm 4}{-2}\]

Таким чином, отримуємо два корені: \(x_1 = -5\) і \(x_2 = -1\). Тепер використовуємо ці значення, щоб розділити площину на три інтервали: \((-∞, -5)\), \((-5, -1)\) і \((-1, ∞)\). Потім вибираємо тестову точку в кожному інтервалі і визначаємо знак функції, щоб з'ясувати, які значення \(x\) задовольняють нерівність. У цьому випадку, ми знаємо, що наша функція спадає на всьому проміжку, отже, будь-які значення \(x\), для яких \(-∞ < x < -5\) або \(-1 < x < ∞\), задовольняють нерівність. Таким чином, розв'язок нерівності буде:

\[x \in (-∞, -5) \cup (-1, ∞).\]