Question

12. (2 бали ) При якому значенні х числа 2х-3; x-4 ix+2 будуть послідовним членами геометричної прогресії? Знайти ці числа​

Answer 1

$b_{1}=2x-3\\\\b_{2}=x-4\\\\b_{3} =x+2\\\\\boxed{b_{2} =\sqrt{b_{1} *b_{3} }} \\\\x-4=\sqrt{(2x-3)(x+2)}\\\\(x-4)^{2}=(2x-3)(x+2)\\\\x^{2}-8x+16=2x^{2}+4x-3x-6\\\\2x^{2}+x-x^{2}+8x-6-16=0\\\\x^{2} +9x-22=0\\\\x_{1}=-11-neyd\\\\\boxed{x_{2}=2}-teorema \ Vieta\\\\2x-3=2*2-3=1\\\\x-4=2-4=-2\\\\x+2=2+2=4\\\\Otvet:\boxed{1 \ ; \ -2 \ ; \ 4}$

Answer 2

Щоб числа \(2x - 3\), \(x - 4\), і \(x + 2\) були послідовними членами геометричної прогресії, співвідношення між ними повинно виконувати умову геометричної прогресії.

У геометричній прогресії кожен наступний член відноситься до попереднього множенням на фіксований множник \(r\). Таким чином, ми можемо записати наступні співвідношення:

1. \(\frac{x - 4}{2x - 3} = \frac{x + 2}{x - 4}\) (співвідношення між другим і першим членами) 2. \(\frac{x + 2}{x - 4} = r\) (співвідношення між третім і другим членами)

Для вирішення цих рівнянь, спростимо їх.

З першого співвідношення отримаємо:

\((x - 4)^2 = (2x - 3)(x + 2)\)

Розгорнемо дужки:

\(x^2 - 8x + 16 = 2x^2 + x - 6\)

Переносимо всі члени на один бік:

\(x^2 - 9x - 22 = 0\)

Тепер ми можемо використати квадратне рівняння для знаходження значення \(x\). Щоб розв'язати це рівняння, використовуйте квадратну формулу:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

У нашому випадку, \(a = 1\), \(b = -9\), і \(c = -22\). Підставимо ці значення:

\[x = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4(1)(-22)}}{2(1)}\]

\[x = \frac{9 \pm \sqrt{369}}{2}\]

\[x = \frac{9 \pm 3\sqrt{41}}{2}\]

Тепер, ми можемо визначити значення \(r\) для нашої геометричної прогресії. Підставимо знайдене значення \(x\) у друге співвідношення:

\[r = \frac{x + 2}{x - 4} = \frac{\frac{9 + 3\sqrt{41}}{2} + 2}{\frac{9 + 3\sqrt{41}}{2} - 4}\]

\[r = \frac{11 + 3\sqrt{41}}{-1 + 3\sqrt{41}}\]

Це є значення множника \(r\). Тепер ви можете використовувати це значення \(r\), а також знайдене значення \(x\) для обчислення чисел \(2x - 3\), \(x - 4\), і \(x + 2\), які будуть послідовними членами геометричної прогресії.