Question

Розв'язати рівняння: 1) (x-1)²-x²=5 2) (x+2)²-x²=8

Answer 1

$1) (x-1)^{2} -x^{2} =5$

$x^{2} -2x+1-x^{2} =5$

$-2x+1=5$

$-2x=5-1$

$-2x=4$

$x= 4:(-2)$

$x=-2$

$2) (x+2)^{2} -x^{2} =8$

$x^{2} +4x+4-x^{2} =8$

$4x+4=8$

$4x=8-4$

$4x=4$

$x=4:4$

$x=1$

Answer 2

Давайте розпочнемо з першого рівняння:

(1) + (x - 1)² - x² = 5

Для розв'язання цього рівняння, спершу розкриємо квадрат дужки (x - 1)²:

(1) + (x² - 2x + 1) - x² = 5

Після цього можемо спростити рівняння, відкинувши зайві терміни:

1 - 2x + 1 - x² = 5

Об'єднаємо подібні терміни:

2 - 2x - x² = 5

Перенесемо всі терміни на одну сторону рівняння:

-2x - x² = 5 - 2

Тепер спростимо праву частину:

-2x - x² = 3

Переведемо рівняння до квадратного вигляду, помноживши обидві частини на -1:

x² + 2x = -3

Зараз ми маємо рівняння в квадратному вигляді. Для розв'язання його, ми можемо застосувати квадратну формулу:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

В нашому випадку, a = 1, b = 2 і c = -3. Підставимо ці значення у формулу:

x = (-2 ± √(2² - 4(1)(-3))) / (2(1))

x = (-2 ± √(4 + 12)) / 2

x = (-2 ± √16) / 2

x = (-2 ± 4) / 2

Тепер розглянемо два випадки:

1. x = (-2 + 4) / 2 = 2 / 2 = 1 2. x = (-2 - 4) / 2 = -6 / 2 = -3

Отже, розв'язками першого рівняння є x = 1 і x = -3.

Тепер перейдемо до другого рівняння:

(2) + (x + 2)² - x² = 8

Аналогічно до першого рівняння, розкриємо квадрат дужки (x + 2)²:

(2) + (x² + 4x + 4) - x² = 8

Спростимо рівняння, відкинувши зайві терміни:

2 + 4x + 4 - x² = 8

Об'єднаємо подібні терміни:

6 + 4x - x² = 8

Перенесемо всі терміни на одну сторону рівняння:

x² - 4x + 6 = 8

Тепер спростимо праву частину:

x² - 4x + 6 - 8 = 0

x² - 4x - 2 = 0

Це квадратне рівняння. Ми можемо застосувати квадратну формулу для його розв'язання:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

У нашому випадку, a = 1, b = -4 і c = -2. Підставимо ці значення у формулу:

x = (-(-4) ± √((-4)² - 4(1)(-2))) / (2(1))

x = (4 ± √(16 + 8)) / 2

x = (4 ± √24) / 2

x = (4 ± 2√6) / 2

Тепер розглянемо два випадки:

1. x = (4 + 2√6) / 2 = 2 + √6 2. x = (4 - 2√6) / 2 = 2 - √6

Отже, розв'язками другого рівняння є x = 2 + √6 і x = 2 - √6.

Таким чином, розв'язками заданих рівнянь є: x = 1, x = -3 (перше рівняння) x = 2 + √6, x = 2 - √6 (друге рівняння).