Question

Найдите область определения функции а)у=4х-15 /(дробь) 7-8х+Х² б)у=√11-х²

Answer 1

а)

$y = \dfrac{4x-15}{7+8x+x^2}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Получаем:

$7+8x+x^2 \neq 0\\\\x^2 + 8x + 7 \neq 0$

Чтобы это решить, для начала представим, что это выражение равно нулю, тогда получим квадратное уравнение и найдём его корни.

$x^2 + 8x + 7 = 0\\\\D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4\cdot 1\cdot 7 = 64 - 28 = 36\\\\x_{1} = \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-8 + 6}{2} = \dfrac{-2}{2} = \boxed{-1}\\\\\\x_{2} = \dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \dfrac{-8 - 6}{2} = \dfrac{-14}{2} = \boxed{-7}$

Но так как изначально это выражение было неравно нулю, то из области определения просто вычёркиваются корни уравнения, решённого нами выше.

Ответ:  $x \neq -1\ ;\ x \neq -7$ .

б)

$y = \sqrt{11-x^2}$

Подкоренное выражение всегда неотрицательно, то есть, больше или равно нулю.

$11-x^2 \geq 0\\\\(\sqrt{11} - x)(\sqrt{11} + x) \geq 0$

Решим неравенство методом интервалов.

Нули: $-\sqrt{11}\ ;\ \sqrt{11}$

          -                            +                           -

---------------------$\bullet$--------------------------

                    $-\sqrt{11}$                         $\sqrt{11}$

Нам нужно найти те промежутки, где выражение больше или равно нулю. Такой промежуток только один: $[-\sqrt{11}\ ;\ \sqrt{11}]$  , так как там "+". Этот промежуток и будет являться областью определения функции.

Ответ: $x \in [-\sqrt{11}\ ;\ \sqrt{11}]$ .

Answer 2

Для того чтобы найти область определения функции, мы должны определить значения переменной, при которых функция определена и не имеет деления на ноль или извлечения корня из отрицательного числа.

a) Функция у = (4х - 15) / (7 - 8х + Х²)

Для начала, обратим внимание на знаменатель функции (7 - 8х + Х²). Чтобы функция не имела деления на ноль, знаменатель должен быть отличен от нуля.

Решим уравнение 7 - 8х + Х² ≠ 0:

Х² - 8х + 7 ≠ 0

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя различные методы, например, факторизацию или квадратное уравнение. Поскольку это уравнение довольно простое, мы можем разложить его на два линейных множителя:

(Х - 7)(Х - 1) ≠ 0

Теперь мы знаем, что функция не определена при Х = 7 и Х = 1, так как в этих точках знаменатель обращается в ноль.

Таким образом, область определения функции у = (4х - 15) / (7 - 8х + Х²) - это все значения Х, кроме Х = 7 и Х = 1.

б) Функция у = √(11 - х²)

В этой функции мы имеем извлечение корня из выражения (11 - х²). Чтобы функция была определена, выражение под корнем должно быть неотрицательным (или равным нулю).

Решим неравенство 11 - х² ≥ 0:

Х² - 11 ≤ 0

Мы можем решить это неравенство, факторизуя его или используя другие методы. В данном случае, мы можем разложить его на два линейных множителя:

(Х - √11)(Х + √11) ≤ 0

Теперь мы знаем, что функция определена при значениях Х, для которых выражение (Х - √11)(Х + √11) ≤ 0.

Чтобы решить это неравенство, мы можем построить таблицу знаков или использовать графический метод. Заметим, что выражение (Х - √11)(Х + √11) меняет знак при Х = -√11 и Х = √11.

Таким образом, область определения функции у = √(11 - х²) - это все значения Х, для которых -√11 ≤ Х ≤ √11.

**Область определения