Question

При каких значениях параметра a неравенство верно при любом x: ax^2-8x+a>0

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

D=64-4a^2<0,  a^2-16>0,  (a-4)(a+4)>0   +  + + +  (-4)- - - - - -(4)+ + + + +

верно  (-~;-4) u (4;+~)

Answer 2

Для определения значений параметра "a", при которых неравенство \(ax^2 - 8x + a > 0\) выполняется при любом значении \(x\), давайте разберемся с этим неравенством подробнее.

Неравенство \(ax^2 - 8x + a > 0\) является квадратным неравенством, и его решение будет зависеть от дискриминанта (\(\Delta\)) квадратного уравнения \(ax^2 - 8x + a = 0\). Дискриминант вычисляется по формуле:

\(\Delta = b^2 - 4ac\),

где в данном случае \(a\) равно коэффициенту при \(x^2\), то есть \(a\), \(b\) равно коэффициенту при \(x\), то есть \(-8\), и \(c\) равно свободному члену, то есть \(a\).

Теперь давайте рассмотрим, при каких значениях параметра \(a\) дискриминант \(\Delta\) будет положительным, что означает, что уравнение \(ax^2 - 8x + a = 0\) имеет два действительных корня.

1. \(\Delta > 0\) означает, что уравнение имеет два различных действительных корня. 2. \(\Delta = 0\) означает, что уравнение имеет один действительный корень (корень кратности 2). 3. \(\Delta < 0\) означает, что уравнение не имеет действительных корней.

Поскольку вы хотите, чтобы неравенство \(ax^2 - 8x + a > 0\) выполнялось при любом \(x\), это означает, что его левая часть (квадратное выражение) должна быть положительной для всех \(x\). Это происходит, когда уравнение \(ax^2 - 8x + a = 0\) не имеет действительных корней, то есть \(\Delta < 0\).

Поэтому ответ на ваш вопрос: неравенство \(ax^2 - 8x + a > 0\) выполняется при любом \(x\) тогда и только тогда, когда дискриминант \(\Delta\) квадратного уравнения \(ax^2 - 8x + a = 0\) меньше нуля:

\(\Delta = (-8)^2 - 4a^2 < 0\).

Вы можете продолжить, решая это неравенство относительно параметра \(a\), чтобы найти интервал значений параметра \(a\), при которых неравенство выполняется.